Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1693 / 1561
↖ ↑ ↗
← S 68.204212°
E117.597656°		 ← 7 257.44 m → S 68.204212°
E117.773438°		 →
↑
7 247.08 m
↓
↑
7 247.08 m
↓
S 68.269387°
E117.597656°		 ← 7 236.79 m →
52 520 368 m²		 S 68.269387°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826904296875 y=0.762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826904296875 × 211)
    floor (0.826904296875 × 2048)
    floor (1693.5)     		tx = 1693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762451171875 × 211)
    floor (0.762451171875 × 2048)
    floor (1561.5)     		ty = 1561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1693 / 1561 ti = "11/1693/1561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1693/1561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1693 ÷ 211
    1693 ÷ 2048     		x = 0.82666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1561 ÷ 211
    1561 ÷ 2048     		y = 0.76220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82666015625 × 2 - 1) × π
    0.6533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05246629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05246629} λ = 2.05246629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64749536614209))-π/2
    2×atan(0.192531526210382)-π/2
    2×0.190204130194325-π/2
    0.380408260388649-1.57079632675     		φ = -1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05246629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1693 KachelY 1561 2.05246629 -1.19038807 117.597656 -68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 1694 KachelY 1561 2.05553426 -1.19038807 117.773438 -68.204212
    Unten links KachelX 1693 KachelY + 1 1562 2.05246629 -1.19152558 117.597656 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 1694 KachelY + 1 1562 2.05553426 -1.19152558 117.773438 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19038807--1.19152558) × R
    0.00113750999999995 × 6371000     		dl = 7247.0762099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19038807--1.19152558) × R
    0.00113750999999995 × 6371000     		dr = 7247.0762099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05246629-2.05553426) × cos(-1.19038807) × R
    0.00306797000000003 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 7257.43512683986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05246629-2.05553426) × cos(-1.19152558) × R
    0.00306797000000003 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 7236.78604930429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19038807)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.370243139181402)×R²
    abs(2.05553426-2.05246629)×0.00105643295737673×R²
    0.00306797000000003×0.00105643295737673×6371000²
    0.00306797000000003×0.00105643295737673×40589641000000     		ar = 52520368.3971874m²