Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16929 / 11719
↖ ↑ ↗
← N 45.529441°
E  5.987549°		 ← 855.81 m → N 45.529441°
E  5.998535°		 →
↑
855.88 m
↓
↑
855.88 m
↓
N 45.521744°
E  5.987549°		 ← 855.93 m →
732 521 m²		 N 45.521744°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516647338867188 y=0.357650756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516647338867188 × 215)
    floor (0.516647338867188 × 32768)
    floor (16929.5)     		tx = 16929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357650756835938 × 215)
    floor (0.357650756835938 × 32768)
    floor (11719.5)     		ty = 11719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16929 / 11719 ti = "15/16929/11719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16929/11719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16929 ÷ 215
    16929 ÷ 32768     		x = 0.516632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11719 ÷ 215
    11719 ÷ 32768     		y = 0.357635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    0.03326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10450244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357635498046875 × 2 - 1) × π
    0.28472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.894502546910248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10450244} λ = 0.10450244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.894502546910248))-π/2
    2×atan(2.44611865747032)-π/2
    2×1.18271748779755-π/2
    2.36543497559511-1.57079632675     		φ = 0.79463865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10450244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79463865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.529441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16929 KachelY 11719 0.10450244 0.79463865 5.987549 45.529441
    Oben rechts KachelX + 1 16930 KachelY 11719 0.10469419 0.79463865 5.998535 45.529441
    Unten links KachelX 16929 KachelY + 1 11720 0.10450244 0.79450431 5.987549 45.521744
    Unten rechts KachelX + 1 16930 KachelY + 1 11720 0.10469419 0.79450431 5.998535 45.521744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79463865-0.79450431) × R
    0.000134340000000011 × 6371000     		dl = 855.880140000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79463865-0.79450431) × R
    0.000134340000000011 × 6371000     		dr = 855.880140000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10450244-0.10469419) × cos(0.79463865) × R
    0.000191750000000004 × 0.70054267492964 × 6371000     		do = 855.810427994059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10450244-0.10469419) × cos(0.79450431) × R
    0.000191750000000004 × 0.700638535043895 × 6371000     		du = 855.927534472142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79463865)-sin(0.79450431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70054267492964-0.700638535043895)×R²
    abs(0.10469419-0.10450244)×9.58601142541093e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58601142541093e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58601142541093e-05×40589641000000     		ar = 732521.264581166m²