Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16927 / 50877
↖ ↑ ↗
← S 70.014956°
W 87.017212°		 ← 208.75 m → S 70.014956°
W 87.011719°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 70.016833°
W 87.017212°		 ← 208.73 m →
43 581 m²		 S 70.016833°
W 87.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258293151855469 y=0.776329040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258293151855469 × 216)
    floor (0.258293151855469 × 65536)
    floor (16927.5)     		tx = 16927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776329040527344 × 216)
    floor (0.776329040527344 × 65536)
    floor (50877.5)     		ty = 50877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16927 / 50877 ti = "16/16927/50877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16927/50877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16927 ÷ 216
    16927 ÷ 65536     		x = 0.258285522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50877 ÷ 216
    50877 ÷ 65536     		y = 0.776321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.483428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51873685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.552642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73617863043919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51873685} λ = -1.51873685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73617863043919))-π/2
    2×atan(0.176192412117587)-π/2
    2×0.174402411345356-π/2
    0.348804822690711-1.57079632675     		φ = -1.22199150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51873685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.017212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22199150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.014956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16927 KachelY 50877 -1.51873685 -1.22199150 -87.017212 -70.014956
    Oben rechts KachelX + 1 16928 KachelY 50877 -1.51864098 -1.22199150 -87.011719 -70.014956
    Unten links KachelX 16927 KachelY + 1 50878 -1.51873685 -1.22202427 -87.017212 -70.016833
    Unten rechts KachelX + 1 16928 KachelY + 1 50878 -1.51864098 -1.22202427 -87.011719 -70.016833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22199150--1.22202427) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22199150--1.22202427) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51873685--1.51864098) × cos(-1.22199150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341774849722469 × 6371000     		do = 208.751898304067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51873685--1.51864098) × cos(-1.22202427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341744052887277 × 6371000     		du = 208.733087973777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22199150)-sin(-1.22202427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341774849722469-0.341744052887277)×R²
    abs(-1.51864098--1.51873685)×3.07968351925259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07968351925259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07968351925259e-05×40589641000000     		ar = 43580.7713514975m²