Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16927 / 49823
↖ ↑ ↗
← N 39.573939°
W133.508606°		 ← 235.37 m → N 39.573939°
W133.505860°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
N 39.571822°
W133.508606°		 ← 235.38 m →
55 410 m²		 N 39.571822°
W133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129146575927734 y=0.380123138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129146575927734 × 217)
    floor (0.129146575927734 × 131072)
    floor (16927.5)     		tx = 16927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380123138427734 × 217)
    floor (0.380123138427734 × 131072)
    floor (49823.5)     		ty = 49823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16927 / 49823 ti = "17/16927/49823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16927/49823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16927 ÷ 217
    16927 ÷ 131072     		x = 0.129142761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49823 ÷ 217
    49823 ÷ 131072     		y = 0.380119323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129142761230469 × 2 - 1) × π
    -0.741714477539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.33016475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380119323730469 × 2 - 1) × π
    0.239761352539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.753232503729942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33016475} λ = -2.33016475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753232503729942))-π/2
    2×atan(2.12385429934149)-π/2
    2×1.13074593315425-π/2
    2.2614918663085-1.57079632675     		φ = 0.69069554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33016475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.508606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69069554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.573939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16927 KachelY 49823 -2.33016475 0.69069554 -133.508606 39.573939
    Oben rechts KachelX + 1 16928 KachelY 49823 -2.33011682 0.69069554 -133.505860 39.573939
    Unten links KachelX 16927 KachelY + 1 49824 -2.33016475 0.69065859 -133.508606 39.571822
    Unten rechts KachelX + 1 16928 KachelY + 1 49824 -2.33011682 0.69065859 -133.505860 39.571822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69069554-0.69065859) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dl = 235.408450000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69069554-0.69065859) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dr = 235.408450000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33016475--2.33011682) × cos(0.69069554) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.770803091405975 × 6371000     		do = 235.373996719967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33016475--2.33011682) × cos(0.69065859) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.770826630744151 × 6371000     		du = 235.381184740058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69069554)-sin(0.69065859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770803091405975-0.770826630744151)×R²
    abs(-2.33011682--2.33016475)×2.35393381763371e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.35393381763371e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.35393381763371e-05×40589641000000     		ar = 55409.8738049713m²