Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16927 / 11731
↖ ↑ ↗
← N 45.437008°
E  5.965576°		 ← 857.17 m → N 45.437008°
E  5.976562°		 →
↑
857.28 m
↓
↑
857.28 m
↓
N 45.429299°
E  5.965576°		 ← 857.29 m →
734 887 m²		 N 45.429299°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516586303710938 y=0.358016967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516586303710938 × 215)
    floor (0.516586303710938 × 32768)
    floor (16927.5)     		tx = 16927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358016967773438 × 215)
    floor (0.358016967773438 × 32768)
    floor (11731.5)     		ty = 11731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16927 / 11731 ti = "15/16927/11731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16927/11731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16927 ÷ 215
    16927 ÷ 32768     		x = 0.516571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11731 ÷ 215
    11731 ÷ 32768     		y = 0.358001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516571044921875 × 2 - 1) × π
    0.03314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10411895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358001708984375 × 2 - 1) × π
    0.28399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.892201575728485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10411895} λ = 0.10411895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892201575728485))-π/2
    2×atan(2.4404966794175)-π/2
    2×1.18191086183516-π/2
    2.36382172367032-1.57079632675     		φ = 0.79302540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10411895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79302540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.437008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16927 KachelY 11731 0.10411895 0.79302540 5.965576 45.437008
    Oben rechts KachelX + 1 16928 KachelY 11731 0.10431069 0.79302540 5.976562 45.437008
    Unten links KachelX 16927 KachelY + 1 11732 0.10411895 0.79289084 5.965576 45.429299
    Unten rechts KachelX + 1 16928 KachelY + 1 11732 0.10431069 0.79289084 5.976562 45.429299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79302540-0.79289084) × R
    0.000134560000000006 × 6371000     		dl = 857.281760000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79302540-0.79289084) × R
    0.000134560000000006 × 6371000     		dr = 857.281760000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10411895-0.10431069) × cos(0.79302540) × R
    0.000191739999999996 × 0.701692994978812 × 6371000     		do = 857.170999255441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10411895-0.10431069) × cos(0.79289084) × R
    0.000191739999999996 × 0.701788859858306 × 6371000     		du = 857.288105447376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79302540)-sin(0.79289084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701692994978812-0.701788859858306)×R²
    abs(0.10431069-0.10411895)×9.58648794945338e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58648794945338e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58648794945338e-05×40589641000000     		ar = 734887.260472277m²