Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16926 / 50878
↖ ↑ ↗
← S 70.016833°
W 87.022705°		 ← 208.75 m → S 70.016833°
W 87.017212°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 70.018710°
W 87.022705°		 ← 208.74 m →
43 568 m²		 S 70.018710°
W 87.017212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258277893066406 y=0.776344299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258277893066406 × 216)
    floor (0.258277893066406 × 65536)
    floor (16926.5)     		tx = 16926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776344299316406 × 216)
    floor (0.776344299316406 × 65536)
    floor (50878.5)     		ty = 50878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16926 / 50878 ti = "16/16926/50878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16926/50878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16926 ÷ 216
    16926 ÷ 65536     		x = 0.258270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50878 ÷ 216
    50878 ÷ 65536     		y = 0.776336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258270263671875 × 2 - 1) × π
    -0.48345947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.51883273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.55267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73627450423843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51883273} λ = -1.51883273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73627450423843))-π/2
    2×atan(0.176175520691376)-π/2
    2×0.174386028456943-π/2
    0.348772056913887-1.57079632675     		φ = -1.22202427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51883273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.022705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22202427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.016833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16926 KachelY 50878 -1.51883273 -1.22202427 -87.022705 -70.016833
    Oben rechts KachelX + 1 16927 KachelY 50878 -1.51873685 -1.22202427 -87.017212 -70.016833
    Unten links KachelX 16926 KachelY + 1 50879 -1.51883273 -1.22205703 -87.022705 -70.018710
    Unten rechts KachelX + 1 16927 KachelY + 1 50879 -1.51873685 -1.22205703 -87.017212 -70.018710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22202427--1.22205703) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dl = 208.713960000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22202427--1.22205703) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dr = 208.713960000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51883273--1.51873685) × cos(-1.22202427) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341744052887277 × 6371000     		do = 208.754860487254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51883273--1.51873685) × cos(-1.22205703) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341713265083137 × 6371000     		du = 208.73605371153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22202427)-sin(-1.22205703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341744052887277-0.341713265083137)×R²
    abs(-1.51873685--1.51883273)×3.07878041396759e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07878041396759e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07878041396759e-05×40589641000000     		ar = 43568.0909874356m²