Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16926 / 16678
↖ ↑ ↗
← N 79.018574°
W133.511353°		 ← 58.18 m → N 79.018574°
W133.508606°		 →
↑
58.17 m
↓
↑
58.17 m
↓
N 79.018051°
W133.511353°		 ← 58.18 m →
3 384 m²		 N 79.018051°
W133.508606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129138946533203 y=0.127246856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129138946533203 × 217)
    floor (0.129138946533203 × 131072)
    floor (16926.5)     		tx = 16926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127246856689453 × 217)
    floor (0.127246856689453 × 131072)
    floor (16678.5)     		ty = 16678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16926 / 16678 ti = "17/16926/16678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16926/16678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16926 ÷ 217
    16926 ÷ 131072     		x = 0.129135131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16678 ÷ 217
    16678 ÷ 131072     		y = 0.127243041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.741729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33021269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127243041992188 × 2 - 1) × π
    0.745513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3421010416367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33021269} λ = -2.33021269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3421010416367))-π/2
    2×atan(10.4030709023869)-π/2
    2×1.47496530357809-π/2
    2.94993060715618-1.57079632675     		φ = 1.37913428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33021269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.511353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37913428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.018574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16926 KachelY 16678 -2.33021269 1.37913428 -133.511353 79.018574
    Oben rechts KachelX + 1 16927 KachelY 16678 -2.33016475 1.37913428 -133.508606 79.018574
    Unten links KachelX 16926 KachelY + 1 16679 -2.33021269 1.37912515 -133.511353 79.018051
    Unten rechts KachelX + 1 16927 KachelY + 1 16679 -2.33016475 1.37912515 -133.508606 79.018051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37913428-1.37912515) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dl = 58.1672300001519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37913428-1.37912515) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dr = 58.1672300001519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33021269--2.33016475) × cos(1.37913428) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.190490770364814 × 6371000     		do = 58.180784502344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33021269--2.33016475) × cos(1.37912515) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.190499733177322 × 6371000     		du = 58.1835219759869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37913428)-sin(1.37912515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190490770364814-0.190499733177322)×R²
    abs(-2.33016475--2.33021269)×8.9628125081731e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.9628125081731e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.9628125081731e-06×40589641000000     		ar = 3384.29468941645m²