Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16925 / 11730
↖ ↑ ↗
← N 45.444717°
E  5.943603°		 ← 857.10 m → N 45.444717°
E  5.954590°		 →
↑
857.15 m
↓
↑
857.15 m
↓
N 45.437008°
E  5.943603°		 ← 857.22 m →
734 716 m²		 N 45.437008°
E  5.954590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516525268554688 y=0.357986450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516525268554688 × 215)
    floor (0.516525268554688 × 32768)
    floor (16925.5)     		tx = 16925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357986450195312 × 215)
    floor (0.357986450195312 × 32768)
    floor (11730.5)     		ty = 11730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16925 / 11730 ti = "15/16925/11730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16925/11730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16925 ÷ 215
    16925 ÷ 32768     		x = 0.516510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11730 ÷ 215
    11730 ÷ 32768     		y = 0.35797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516510009765625 × 2 - 1) × π
    0.03302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10373545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35797119140625 × 2 - 1) × π
    0.2840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.892393323326965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10373545} λ = 0.10373545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892393323326965))-π/2
    2×atan(2.44096468366278)-π/2
    2×1.18197813121335-π/2
    2.3639562624267-1.57079632675     		φ = 0.79315994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10373545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.943603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79315994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.444717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16925 KachelY 11730 0.10373545 0.79315994 5.943603 45.444717
    Oben rechts KachelX + 1 16926 KachelY 11730 0.10392720 0.79315994 5.954590 45.444717
    Unten links KachelX 16925 KachelY + 1 11731 0.10373545 0.79302540 5.943603 45.437008
    Unten rechts KachelX + 1 16926 KachelY + 1 11731 0.10392720 0.79302540 5.954590 45.437008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79315994-0.79302540) × R
    0.000134540000000016 × 6371000     		dl = 857.154340000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79315994-0.79302540) × R
    0.000134540000000016 × 6371000     		dr = 857.154340000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10373545-0.10392720) × cos(0.79315994) × R
    0.000191749999999991 × 0.701597131645665 × 6371000     		do = 857.098593705718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10373545-0.10392720) × cos(0.79302540) × R
    0.000191749999999991 × 0.701692994978812 × 6371000     		du = 857.215704116127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79315994)-sin(0.79302540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701597131645665-0.701692994978812)×R²
    abs(0.10392720-0.10373545)×9.58633331473724e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58633331473724e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58633331473724e-05×40589641000000     		ar = 734715.971359312m²