Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16924 / 11219
↖ ↑ ↗
← N 49.246293°
E  5.932617°		 ← 797.50 m → N 49.246293°
E  5.943603°		 →
↑
797.52 m
↓
↑
797.52 m
↓
N 49.239121°
E  5.932617°		 ← 797.61 m →
636 067 m²		 N 49.239121°
E  5.943603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516494750976562 y=0.342391967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516494750976562 × 215)
    floor (0.516494750976562 × 32768)
    floor (16924.5)     		tx = 16924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342391967773438 × 215)
    floor (0.342391967773438 × 32768)
    floor (11219.5)     		ty = 11219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16924 / 11219 ti = "15/16924/11219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16924/11219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16924 ÷ 215
    16924 ÷ 32768     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11219 ÷ 215
    11219 ÷ 32768     		y = 0.342376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342376708984375 × 2 - 1) × π
    0.31524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99037634615036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99037634615036))-π/2
    2×atan(2.69224749869497)-π/2
    2×1.21515314484678-π/2
    2.43030628969356-1.57079632675     		φ = 0.85950996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85950996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.246293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16924 KachelY 11219 0.10354370 0.85950996 5.932617 49.246293
    Oben rechts KachelX + 1 16925 KachelY 11219 0.10373545 0.85950996 5.943603 49.246293
    Unten links KachelX 16924 KachelY + 1 11220 0.10354370 0.85938478 5.932617 49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 16925 KachelY + 1 11220 0.10373545 0.85938478 5.943603 49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85950996-0.85938478) × R
    0.000125180000000058 × 6371000     		dl = 797.52178000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85950996-0.85938478) × R
    0.000125180000000058 × 6371000     		dr = 797.52178000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10373545) × cos(0.85950996) × R
    0.000191750000000004 × 0.652808762980805 × 6371000     		do = 797.496807601316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10373545) × cos(0.85938478) × R
    0.000191750000000004 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 797.612645368872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85950996)-sin(0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652808762980805-0.652903584563817)×R²
    abs(0.10373545-0.10354370)×9.48215830125498e-05×R²
    0.000191750000000004×9.48215830125498e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.48215830125498e-05×40589641000000     		ar = 636067.265944708m²