Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16923 / 17346
↖ ↑ ↗
← S 10.509416°
E  5.921631°		 ← 1 201.08 m → S 10.509416°
E  5.932617°		 →
↑
1 201.12 m
↓
↑
1 201.12 m
↓
S 10.520218°
E  5.921631°		 ← 1 201.04 m →
1 442 626 m²		 S 10.520218°
E  5.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516464233398438 y=0.529373168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516464233398438 × 215)
    floor (0.516464233398438 × 32768)
    floor (16923.5)     		tx = 16923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529373168945312 × 215)
    floor (0.529373168945312 × 32768)
    floor (17346.5)     		ty = 17346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16923 / 17346 ti = "15/16923/17346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16923/17346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16923 ÷ 215
    16923 ÷ 32768     		x = 0.516448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17346 ÷ 215
    17346 ÷ 32768     		y = 0.52935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516448974609375 × 2 - 1) × π
    0.03289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10335196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.184461189737976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10335196} λ = 0.10335196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184461189737976))-π/2
    2×atan(0.831552212032391)-π/2
    2×0.69368620145312-π/2
    1.38737240290624-1.57079632675     		φ = -0.18342392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10335196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18342392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.509416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16923 KachelY 17346 0.10335196 -0.18342392 5.921631 -10.509416
    Oben rechts KachelX + 1 16924 KachelY 17346 0.10354370 -0.18342392 5.932617 -10.509416
    Unten links KachelX 16923 KachelY + 1 17347 0.10335196 -0.18361245 5.921631 -10.520218
    Unten rechts KachelX + 1 16924 KachelY + 1 17347 0.10354370 -0.18361245 5.932617 -10.520218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18342392--0.18361245) × R
    0.00018853000000002 × 6371000     		dl = 1201.12463000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18342392--0.18361245) × R
    0.00018853000000002 × 6371000     		dr = 1201.12463000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10335196-0.10354370) × cos(-0.18342392) × R
    0.000191739999999996 × 0.983224944142355 × 6371000     		do = 1201.08354208214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10335196-0.10354370) × cos(-0.18361245) × R
    0.000191739999999996 × 0.983190539339954 × 6371000     		du = 1201.04151401707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18342392)-sin(-0.18361245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983224944142355-0.983190539339954)×R²
    abs(0.10354370-0.10335196)×3.44048024008003e-05×R²
    0.000191739999999996×3.44048024008003e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.44048024008003e-05×40589641000000     		ar = 1442625.78888356m²