Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16922 / 16674
↖ ↑ ↗
← N 79.020666°
W133.522339°		 ← 58.17 m → N 79.020666°
W133.519592°		 →
↑
58.17 m
↓
↑
58.17 m
↓
N 79.020143°
W133.522339°		 ← 58.17 m →
3 384 m²		 N 79.020143°
W133.519592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129108428955078 y=0.127216339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129108428955078 × 217)
    floor (0.129108428955078 × 131072)
    floor (16922.5)     		tx = 16922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127216339111328 × 217)
    floor (0.127216339111328 × 131072)
    floor (16674.5)     		ty = 16674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16922 / 16674 ti = "17/16922/16674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16922/16674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16922 ÷ 217
    16922 ÷ 131072     		x = 0.129104614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16674 ÷ 217
    16674 ÷ 131072     		y = 0.127212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.741790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33040444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127212524414062 × 2 - 1) × π
    0.745574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34229278923518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33040444} λ = -2.33040444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34229278923518))-π/2
    2×atan(10.4050658575071)-π/2
    2×1.47498356493315-π/2
    2.94996712986629-1.57079632675     		φ = 1.37917080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33040444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.522339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37917080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.020666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16922 KachelY 16674 -2.33040444 1.37917080 -133.522339 79.020666
    Oben rechts KachelX + 1 16923 KachelY 16674 -2.33035650 1.37917080 -133.519592 79.020666
    Unten links KachelX 16922 KachelY + 1 16675 -2.33040444 1.37916167 -133.522339 79.020143
    Unten rechts KachelX + 1 16923 KachelY + 1 16675 -2.33035650 1.37916167 -133.519592 79.020143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37917080-1.37916167) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dl = 58.1672300001519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37917080-1.37916167) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dr = 58.1672300001519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33040444--2.33035650) × cos(1.37917080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190454918956001 × 6371000     		do = 58.1698345587385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33040444--2.33035650) × cos(1.37916167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19046388183202 × 6371000     		du = 58.172572051779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37917080)-sin(1.37916167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190454918956001-0.19046388183202)×R²
    abs(-2.33035650--2.33040444)×8.96287601856449e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.96287601856449e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.96287601856449e-06×40589641000000     		ar = 3383.65776190554m²