Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16922 / 11220
↖ ↑ ↗
← N 49.239121°
E  5.910645°		 ← 797.61 m → N 49.239121°
E  5.921631°		 →
↑
797.65 m
↓
↑
797.65 m
↓
N 49.231947°
E  5.910645°		 ← 797.73 m →
636 261 m²		 N 49.231947°
E  5.921631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516433715820312 y=0.342422485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516433715820312 × 215)
    floor (0.516433715820312 × 32768)
    floor (16922.5)     		tx = 16922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342422485351562 × 215)
    floor (0.342422485351562 × 32768)
    floor (11220.5)     		ty = 11220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16922 / 11220 ti = "15/16922/11220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16922/11220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16922 ÷ 215
    16922 ÷ 32768     		x = 0.51641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11220 ÷ 215
    11220 ÷ 32768     		y = 0.3424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51641845703125 × 2 - 1) × π
    0.0328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10316021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3424072265625 × 2 - 1) × π
    0.315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99018459855188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10316021} λ = 0.10316021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99018459855188))-π/2
    2×atan(2.69173131619254)-π/2
    2×1.21509055304515-π/2
    2.4301811060903-1.57079632675     		φ = 0.85938478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10316021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.910645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85938478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.239121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16922 KachelY 11220 0.10316021 0.85938478 5.910645 49.239121
    Oben rechts KachelX + 1 16923 KachelY 11220 0.10335196 0.85938478 5.921631 49.239121
    Unten links KachelX 16922 KachelY + 1 11221 0.10316021 0.85925958 5.910645 49.231947
    Unten rechts KachelX + 1 16923 KachelY + 1 11221 0.10335196 0.85925958 5.921631 49.231947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85938478-0.85925958) × R
    0.000125199999999936 × 6371000     		dl = 797.649199999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85938478-0.85925958) × R
    0.000125199999999936 × 6371000     		dr = 797.649199999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10316021-0.10335196) × cos(0.85938478) × R
    0.000191750000000004 × 0.652903584563817 × 6371000     		do = 797.612645368872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10316021-0.10335196) × cos(0.85925958) × R
    0.000191750000000004 × 0.652998411062995 × 6371000     		du = 797.728489142207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85938478)-sin(0.85925958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652903584563817-0.652998411062995)×R²
    abs(0.10335196-0.10316021)×9.48264991779135e-05×R²
    0.000191750000000004×9.48264991779135e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.48264991779135e-05×40589641000000     		ar = 636261.290666108m²