Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16921 / 11736
↖ ↑ ↗
← N 45.398450°
E  5.899658°		 ← 857.80 m → N 45.398450°
E  5.910645°		 →
↑
857.86 m
↓
↑
857.86 m
↓
N 45.390735°
E  5.899658°		 ← 857.92 m →
735 919 m²		 N 45.390735°
E  5.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516403198242188 y=0.358169555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516403198242188 × 215)
    floor (0.516403198242188 × 32768)
    floor (16921.5)     		tx = 16921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358169555664062 × 215)
    floor (0.358169555664062 × 32768)
    floor (11736.5)     		ty = 11736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16921 / 11736 ti = "15/16921/11736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16921/11736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16921 ÷ 215
    16921 ÷ 32768     		x = 0.516387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11736 ÷ 215
    11736 ÷ 32768     		y = 0.358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516387939453125 × 2 - 1) × π
    0.03277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10296846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358154296875 × 2 - 1) × π
    0.28369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.891242837736084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10296846} λ = 0.10296846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891242837736084))-π/2
    2×atan(2.43815800379833)-π/2
    2×1.18157437708273-π/2
    2.36314875416546-1.57079632675     		φ = 0.79235243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10296846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79235243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.398450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16921 KachelY 11736 0.10296846 0.79235243 5.899658 45.398450
    Oben rechts KachelX + 1 16922 KachelY 11736 0.10316021 0.79235243 5.910645 45.398450
    Unten links KachelX 16921 KachelY + 1 11737 0.10296846 0.79221778 5.899658 45.390735
    Unten rechts KachelX + 1 16922 KachelY + 1 11737 0.10316021 0.79221778 5.910645 45.390735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79235243-0.79221778) × R
    0.000134650000000014 × 6371000     		dl = 857.855150000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79235243-0.79221778) × R
    0.000134650000000014 × 6371000     		dr = 857.855150000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10296846-0.10316021) × cos(0.79235243) × R
    0.000191750000000004 × 0.702172313331486 × 6371000     		do = 857.801258229062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10296846-0.10316021) × cos(0.79221778) × R
    0.000191750000000004 × 0.702268178715366 × 6371000     		du = 857.918371144725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79235243)-sin(0.79221778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702172313331486-0.702268178715366)×R²
    abs(0.10316021-0.10296846)×9.586538387929e-05×R²
    0.000191750000000004×9.586538387929e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.586538387929e-05×40589641000000     		ar = 735919.461118926m²