Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16918 / 17906
↖ ↑ ↗
← S 16.488765°
E  5.866699°		 ← 1 171.40 m → S 16.488765°
E  5.877686°		 →
↑
1 171.31 m
↓
↑
1 171.31 m
↓
S 16.499299°
E  5.866699°		 ← 1 171.34 m →
1 372 033 m²		 S 16.499299°
E  5.877686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516311645507812 y=0.546463012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516311645507812 × 215)
    floor (0.516311645507812 × 32768)
    floor (16918.5)     		tx = 16918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546463012695312 × 215)
    floor (0.546463012695312 × 32768)
    floor (17906.5)     		ty = 17906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16918 / 17906 ti = "15/16918/17906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16918/17906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16918 ÷ 215
    16918 ÷ 32768     		x = 0.51629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17906 ÷ 215
    17906 ÷ 32768     		y = 0.54644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51629638671875 × 2 - 1) × π
    0.0325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10239322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.0928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.291839844886902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10239322} λ = 0.10239322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291839844886902))-π/2
    2×atan(0.746888144350385)-π/2
    2×0.641506544556492-π/2
    1.28301308911298-1.57079632675     		φ = -0.28778324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10239322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28778324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.488765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16918 KachelY 17906 0.10239322 -0.28778324 5.866699 -16.488765
    Oben rechts KachelX + 1 16919 KachelY 17906 0.10258497 -0.28778324 5.877686 -16.488765
    Unten links KachelX 16918 KachelY + 1 17907 0.10239322 -0.28796709 5.866699 -16.499299
    Unten rechts KachelX + 1 16919 KachelY + 1 17907 0.10258497 -0.28796709 5.877686 -16.499299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28778324--0.28796709) × R
    0.000183849999999985 × 6371000     		dl = 1171.30834999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28778324--0.28796709) × R
    0.000183849999999985 × 6371000     		dr = 1171.30834999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10239322-0.10258497) × cos(-0.28778324) × R
    0.000191750000000004 × 0.958875408031897 × 6371000     		do = 1171.39983431156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10239322-0.10258497) × cos(-0.28796709) × R
    0.000191750000000004 × 0.95882321017263 × 6371000     		du = 1171.33606735791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28778324)-sin(-0.28796709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958875408031897-0.95882321017263)×R²
    abs(0.10258497-0.10239322)×5.21978592672445e-05×R²
    0.000191750000000004×5.21978592672445e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.21978592672445e-05×40589641000000     		ar = 1372033.06559983m²