Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16917 / 14871
↖ ↑ ↗
← N 79.924873°
W133.536072°		 ← 53.42 m → N 79.924873°
W133.533325°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.924392°
W133.536072°		 ← 53.42 m →
2 856 m²		 N 79.924392°
W133.533325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129070281982422 y=0.113460540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129070281982422 × 217)
    floor (0.129070281982422 × 131072)
    floor (16917.5)     		tx = 16917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113460540771484 × 217)
    floor (0.113460540771484 × 131072)
    floor (14871.5)     		ty = 14871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16917 / 14871 ti = "17/16917/14871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16917/14871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16917 ÷ 217
    16917 ÷ 131072     		x = 0.129066467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14871 ÷ 217
    14871 ÷ 131072     		y = 0.113456726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129066467285156 × 2 - 1) × π
    -0.741867065429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.33064412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113456726074219 × 2 - 1) × π
    0.773086547851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.42872301925015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33064412} λ = -2.33064412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42872301925015))-π/2
    2×atan(11.3443862636545)-π/2
    2×1.48287425815987-π/2
    2.96574851631973-1.57079632675     		φ = 1.39495219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33064412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.536072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39495219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.924873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16917 KachelY 14871 -2.33064412 1.39495219 -133.536072 79.924873
    Oben rechts KachelX + 1 16918 KachelY 14871 -2.33059619 1.39495219 -133.533325 79.924873
    Unten links KachelX 16917 KachelY + 1 14872 -2.33064412 1.39494380 -133.536072 79.924392
    Unten rechts KachelX + 1 16918 KachelY + 1 14872 -2.33059619 1.39494380 -133.533325 79.924392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39495219-1.39494380) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dl = 53.4526899990968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39495219-1.39494380) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dr = 53.4526899990968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33064412--2.33059619) × cos(1.39495219) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174939319367431 × 6371000     		do = 53.4198256888896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33064412--2.33059619) × cos(1.39494380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174947579980904 × 6371000     		du = 53.4223481665889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39495219)-sin(1.39494380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174939319367431-0.174947579980904)×R²
    abs(-2.33059619--2.33064412)×8.26061347319884e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.26061347319884e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.26061347319884e-06×40589641000000     		ar = 2855.50079881034m²