Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16915 / 49905
↖ ↑ ↗
← N 39.400122°
W133.541565°		 ← 236.01 m → N 39.400122°
W133.538818°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
N 39.398000°
W133.541565°		 ← 236.02 m →
55 695 m²		 N 39.398000°
W133.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129055023193359 y=0.380748748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129055023193359 × 217)
    floor (0.129055023193359 × 131072)
    floor (16915.5)     		tx = 16915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380748748779297 × 217)
    floor (0.380748748779297 × 131072)
    floor (49905.5)     		ty = 49905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16915 / 49905 ti = "17/16915/49905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16915/49905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16915 ÷ 217
    16915 ÷ 131072     		x = 0.129051208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49905 ÷ 217
    49905 ÷ 131072     		y = 0.380744934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129051208496094 × 2 - 1) × π
    -0.741897583007812 × 3.1415926535     		Λ = -2.33074000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380744934082031 × 2 - 1) × π
    0.238510131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.749301677961098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33074000} λ = -2.33074000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.749301677961098))-π/2
    2×atan(2.115522184906)-π/2
    2×1.12922909068417-π/2
    2.25845818136835-1.57079632675     		φ = 0.68766185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33074000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.541565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68766185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.400122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16915 KachelY 49905 -2.33074000 0.68766185 -133.541565 39.400122
    Oben rechts KachelX + 1 16916 KachelY 49905 -2.33069206 0.68766185 -133.538818 39.400122
    Unten links KachelX 16915 KachelY + 1 49906 -2.33074000 0.68762481 -133.541565 39.398000
    Unten rechts KachelX + 1 16916 KachelY + 1 49906 -2.33069206 0.68762481 -133.538818 39.398000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68766185-0.68762481) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68766185-0.68762481) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33074000--2.33069206) × cos(0.68766185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772732224874651 × 6371000     		do = 236.012311604032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33074000--2.33069206) × cos(0.68762481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772755734823588 × 6371000     		du = 236.019492147583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68766185)-sin(0.68762481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772732224874651-0.772755734823588)×R²
    abs(-2.33069206--2.33074000)×2.35099489378499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35099489378499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35099489378499e-05×40589641000000     		ar = 55695.4668004213m²