Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16914 / 50850
↖ ↑ ↗
← S 69.964204°
W 87.088623°		 ← 209.26 m → S 69.964204°
W 87.083130°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 69.966086°
W 87.088623°		 ← 209.24 m →
43 794 m²		 S 69.966086°
W 87.083130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258094787597656 y=0.775917053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258094787597656 × 216)
    floor (0.258094787597656 × 65536)
    floor (16914.5)     		tx = 16914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775917053222656 × 216)
    floor (0.775917053222656 × 65536)
    floor (50850.5)     		ty = 50850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16914 / 50850 ti = "16/16914/50850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16914/50850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16914 ÷ 216
    16914 ÷ 65536     		x = 0.258087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50850 ÷ 216
    50850 ÷ 65536     		y = 0.775909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.48382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.51998321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.55181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73359003785971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51998321} λ = -1.51998321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73359003785971))-π/2
    2×atan(0.176649093313923)-π/2
    2×0.174845307703772-π/2
    0.349690615407544-1.57079632675     		φ = -1.22110571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51998321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22110571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.964204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16914 KachelY 50850 -1.51998321 -1.22110571 -87.088623 -69.964204
    Oben rechts KachelX + 1 16915 KachelY 50850 -1.51988734 -1.22110571 -87.083130 -69.964204
    Unten links KachelX 16914 KachelY + 1 50851 -1.51998321 -1.22113856 -87.088623 -69.966086
    Unten rechts KachelX + 1 16915 KachelY + 1 50851 -1.51988734 -1.22113856 -87.083130 -69.966086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22110571--1.22113856) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22110571--1.22113856) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51998321--1.51988734) × cos(-1.22110571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34260716490866 × 6371000     		do = 209.260266240578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51998321--1.51988734) × cos(-1.22113856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342576302846716 × 6371000     		du = 209.241416070586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22110571)-sin(-1.22113856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34260716490866-0.342576302846716)×R²
    abs(-1.51988734--1.51998321)×3.08620619442479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08620619442479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08620619442479e-05×40589641000000     		ar = 43793.5540347893m²