Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16914 / 50035
↖ ↑ ↗
← N 39.123668°
W133.544311°		 ← 236.90 m → N 39.123668°
W133.541565°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
N 39.121538°
W133.544311°		 ← 236.90 m →
56 130 m²		 N 39.121538°
W133.541565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129047393798828 y=0.381740570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129047393798828 × 217)
    floor (0.129047393798828 × 131072)
    floor (16914.5)     		tx = 16914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381740570068359 × 217)
    floor (0.381740570068359 × 131072)
    floor (50035.5)     		ty = 50035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16914 / 50035 ti = "17/16914/50035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16914/50035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16914 ÷ 217
    16914 ÷ 131072     		x = 0.129043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50035 ÷ 217
    50035 ÷ 131072     		y = 0.381736755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.741912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33078793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381736755371094 × 2 - 1) × π
    0.236526489257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.74306988101049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33078793} λ = -2.33078793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74306988101049))-π/2
    2×atan(2.10237967346925)-π/2
    2×1.12681657663458-π/2
    2.25363315326916-1.57079632675     		φ = 0.68283683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33078793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.544311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68283683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.123668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16914 KachelY 50035 -2.33078793 0.68283683 -133.544311 39.123668
    Oben rechts KachelX + 1 16915 KachelY 50035 -2.33074000 0.68283683 -133.541565 39.123668
    Unten links KachelX 16914 KachelY + 1 50036 -2.33078793 0.68279964 -133.544311 39.121538
    Unten rechts KachelX + 1 16915 KachelY + 1 50036 -2.33074000 0.68279964 -133.541565 39.121538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68283683-0.68279964) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dl = 236.937489999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68283683-0.68279964) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dr = 236.937489999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33078793--2.33074000) × cos(0.68283683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775785813432388 × 6371000     		do = 236.89553083506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33078793--2.33074000) × cos(0.68279964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.775809279649497 × 6371000     		du = 236.902696526753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68283683)-sin(0.68279964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775785813432388-0.775809279649497)×R²
    abs(-2.33074000--2.33078793)×2.34662171084699e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34662171084699e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34662171084699e-05×40589641000000     		ar = 56130.2813850392m²