Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16910 / 17914
↖ ↑ ↗
← S 16.573023°
E  5.778809°		 ← 1 170.83 m → S 16.573023°
E  5.789795°		 →
↑
1 170.86 m
↓
↑
1 170.86 m
↓
S 16.583552°
E  5.778809°		 ← 1 170.76 m →
1 370 841 m²		 S 16.583552°
E  5.789795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516067504882812 y=0.546707153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516067504882812 × 215)
    floor (0.516067504882812 × 32768)
    floor (16910.5)     		tx = 16910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546707153320312 × 215)
    floor (0.546707153320312 × 32768)
    floor (17914.5)     		ty = 17914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16910 / 17914 ti = "15/16910/17914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16910/17914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16910 ÷ 215
    16910 ÷ 32768     		x = 0.51605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17914 ÷ 215
    17914 ÷ 32768     		y = 0.54669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51605224609375 × 2 - 1) × π
    0.0321044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10085924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.293373825674744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10085924} λ = 0.10085924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293373825674744))-π/2
    2×atan(0.745743310587276)-π/2
    2×0.640771256672685-π/2
    1.28154251334537-1.57079632675     		φ = -0.28925381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10085924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28925381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.573023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16910 KachelY 17914 0.10085924 -0.28925381 5.778809 -16.573023
    Oben rechts KachelX + 1 16911 KachelY 17914 0.10105098 -0.28925381 5.789795 -16.573023
    Unten links KachelX 16910 KachelY + 1 17915 0.10085924 -0.28943759 5.778809 -16.583552
    Unten rechts KachelX + 1 16911 KachelY + 1 17915 0.10105098 -0.28943759 5.789795 -16.583552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28925381--0.28943759) × R
    0.000183780000000022 × 6371000     		dl = 1170.86238000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28925381--0.28943759) × R
    0.000183780000000022 × 6371000     		dr = 1170.86238000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10085924-0.10105098) × cos(-0.28925381) × R
    0.000191739999999996 × 0.958456983408896 × 6371000     		do = 1170.82760707447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10085924-0.10105098) × cos(-0.28943759) × R
    0.000191739999999996 × 0.958404546346476 × 6371000     		du = 1170.76355124163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28925381)-sin(-0.28943759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958456983408896-0.958404546346476)×R²
    abs(0.10105098-0.10085924)×5.24370624205295e-05×R²
    0.000191739999999996×5.24370624205295e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.24370624205295e-05×40589641000000     		ar = 1370840.50216467m²