Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1691 / 419
↖ ↑ ↗
← N 80.604087°
W 31.376953°		 ← 1 595.49 m → N 80.604087°
W 31.289062°		 →
↑
1 596.70 m
↓
↑
1 596.70 m
↓
N 80.589727°
W 31.376953°		 ← 1 597.91 m →
2 549 456 m²		 N 80.589727°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4129638671875 y=0.1024169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4129638671875 × 212)
    floor (0.4129638671875 × 4096)
    floor (1691.5)     		tx = 1691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1024169921875 × 212)
    floor (0.1024169921875 × 4096)
    floor (419.5)     		ty = 419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1691 / 419 ti = "12/1691/419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1691/419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1691 ÷ 212
    1691 ÷ 4096     		x = 0.412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 419 ÷ 212
    419 ÷ 4096     		y = 0.102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102294921875 × 2 - 1) × π
    0.79541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49885470339429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54763114} λ = -0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49885470339429))-π/2
    2×atan(12.1685493785867)-π/2
    2×1.48880151262248-π/2
    2.97760302524495-1.57079632675     		φ = 1.40680670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40680670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.604087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1691 KachelY 419 -0.54763114 1.40680670 -31.376953 80.604087
    Oben rechts KachelX + 1 1692 KachelY 419 -0.54609716 1.40680670 -31.289062 80.604087
    Unten links KachelX 1691 KachelY + 1 420 -0.54763114 1.40655608 -31.376953 80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 1692 KachelY + 1 420 -0.54609716 1.40655608 -31.289062 80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40680670-1.40655608) × R
    0.000250619999999868 × 6371000     		dl = 1596.70001999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40680670-1.40655608) × R
    0.000250619999999868 × 6371000     		dr = 1596.70001999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54763114--0.54609716) × cos(1.40680670) × R
    0.00153398000000005 × 0.163255596645971 × 6371000     		do = 1595.49475513101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54763114--0.54609716) × cos(1.40655608) × R
    0.00153398000000005 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 1597.91115053735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40680670)-sin(1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163255596645971-0.163502849150264)×R²
    abs(-0.54609716--0.54763114)×0.000247252504293499×R²
    0.00153398000000005×0.000247252504293499×6371000²
    0.00153398000000005×0.000247252504293499×40589641000000     		ar = 2549455.65006477m²