Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1691 / 1564
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E117.246094°		 ← 7 195.61 m → S 68.399180°
E117.421875°		 →
↑
7 185.34 m
↓
↑
7 185.34 m
↓
S 68.463800°
E117.246094°		 ← 7 175.11 m →
51 629 285 m²		 S 68.463800°
E117.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825927734375 y=0.763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825927734375 × 211)
    floor (0.825927734375 × 2048)
    floor (1691.5)     		tx = 1691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763916015625 × 211)
    floor (0.763916015625 × 2048)
    floor (1564.5)     		ty = 1564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1691 / 1564 ti = "11/1691/1564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1691/1564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1691 ÷ 211
    1691 ÷ 2048     		x = 0.82568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1564 ÷ 211
    1564 ÷ 2048     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82568359375 × 2 - 1) × π
    0.6513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04633037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04633037} λ = 2.04633037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04633037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1691 KachelY 1564 2.04633037 -1.19379090 117.246094 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 1692 KachelY 1564 2.04939833 -1.19379090 117.421875 -68.399180
    Unten links KachelX 1691 KachelY + 1 1565 2.04633037 -1.19491872 117.246094 -68.463800
    Unten rechts KachelX + 1 1692 KachelY + 1 1565 2.04939833 -1.19491872 117.421875 -68.463800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19491872) × R
    0.00112782 × 6371000     		dl = 7185.34122000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19491872) × R
    0.00112782 × 6371000     		dr = 7185.34122000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04633037-2.04939833) × cos(-1.19379090) × R
    0.00306795999999965 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 7195.61265700195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04633037-2.04939833) × cos(-1.19491872) × R
    0.00306795999999965 × 0.367089007742529 × 6371000     		du = 7175.11189266569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19491872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.367089007742529)×R²
    abs(2.04939833-2.04633037)×0.00104884848497688×R²
    0.00306795999999965×0.00104884848497688×6371000²
    0.00306795999999965×0.00104884848497688×40589641000000     		ar = 51629285.2066024m²