Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16907 / 17908
↖ ↑ ↗
← S 16.509833°
E  5.745849°		 ← 1 171.27 m → S 16.509833°
E  5.756836°		 →
↑
1 171.24 m
↓
↑
1 171.24 m
↓
S 16.520366°
E  5.745849°		 ← 1 171.21 m →
1 371 809 m²		 S 16.520366°
E  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515975952148438 y=0.546524047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515975952148438 × 215)
    floor (0.515975952148438 × 32768)
    floor (16907.5)     		tx = 16907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546524047851562 × 215)
    floor (0.546524047851562 × 32768)
    floor (17908.5)     		ty = 17908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16907 / 17908 ti = "15/16907/17908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16907/17908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16907 ÷ 215
    16907 ÷ 32768     		x = 0.515960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17908 ÷ 215
    17908 ÷ 32768     		y = 0.5465087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515960693359375 × 2 - 1) × π
    0.03192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10028399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.093017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.292223340083862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10028399} λ = 0.10028399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292223340083862))-π/2
    2×atan(0.746601771249224)-π/2
    2×0.641322692509777-π/2
    1.28264538501955-1.57079632675     		φ = -0.28815094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10028399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.745849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28815094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.509833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16907 KachelY 17908 0.10028399 -0.28815094 5.745849 -16.509833
    Oben rechts KachelX + 1 16908 KachelY 17908 0.10047574 -0.28815094 5.756836 -16.509833
    Unten links KachelX 16907 KachelY + 1 17909 0.10028399 -0.28833478 5.745849 -16.520366
    Unten rechts KachelX + 1 16908 KachelY + 1 17909 0.10047574 -0.28833478 5.756836 -16.520366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28815094--0.28833478) × R
    0.000183839999999991 × 6371000     		dl = 1171.24463999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28815094--0.28833478) × R
    0.000183839999999991 × 6371000     		dr = 1171.24463999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10028399-0.10047574) × cos(-0.28815094) × R
    0.000191749999999991 × 0.95877097990435 × 6371000     		do = 1171.27226081206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10028399-0.10047574) × cos(-0.28833478) × R
    0.000191749999999991 × 0.958718720072383 × 6371000     		du = 1171.20841815013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28815094)-sin(-0.28833478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95877097990435-0.958718720072383)×R²
    abs(0.10047574-0.10028399)×5.22598319664391e-05×R²
    0.000191749999999991×5.22598319664391e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.22598319664391e-05×40589641000000     		ar = 1371808.97363251m²