Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16906 / 17910
↖ ↑ ↗
← S 16.530899°
E  5.734863°		 ← 1 171.08 m → S 16.530899°
E  5.745849°		 →
↑
1 171.05 m
↓
↑
1 171.05 m
↓
S 16.541430°
E  5.734863°		 ← 1 171.02 m →
1 371 364 m²		 S 16.541430°
E  5.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515945434570312 y=0.546585083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515945434570312 × 215)
    floor (0.515945434570312 × 32768)
    floor (16906.5)     		tx = 16906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546585083007812 × 215)
    floor (0.546585083007812 × 32768)
    floor (17910.5)     		ty = 17910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16906 / 17910 ti = "15/16906/17910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16906/17910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16906 ÷ 215
    16906 ÷ 32768     		x = 0.51593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17910 ÷ 215
    17910 ÷ 32768     		y = 0.54656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    0.0318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10009225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.0931396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.292606835280823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10009225} λ = 0.10009225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292606835280823))-π/2
    2×atan(0.746315507949716)-π/2
    2×0.641138860498464-π/2
    1.28227772099693-1.57079632675     		φ = -0.28851861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10009225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28851861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.530899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16906 KachelY 17910 0.10009225 -0.28851861 5.734863 -16.530899
    Oben rechts KachelX + 1 16907 KachelY 17910 0.10028399 -0.28851861 5.745849 -16.530899
    Unten links KachelX 16906 KachelY + 1 17911 0.10009225 -0.28870242 5.734863 -16.541430
    Unten rechts KachelX + 1 16907 KachelY + 1 17911 0.10028399 -0.28870242 5.745849 -16.541430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28851861--0.28870242) × R
    0.000183810000000006 × 6371000     		dl = 1171.05351000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28851861--0.28870242) × R
    0.000183810000000006 × 6371000     		dr = 1171.05351000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10009225-0.10028399) × cos(-0.28851861) × R
    0.00019174000000001 × 0.958666430683785 × 6371000     		do = 1171.08346274248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10009225-0.10028399) × cos(-0.28870242) × R
    0.00019174000000001 × 0.958614114592694 × 6371000     		du = 1171.01955468525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28851861)-sin(-0.28870242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958666430683785-0.958614114592694)×R²
    abs(0.10028399-0.10009225)×5.23160910909093e-05×R²
    0.00019174000000001×5.23160910909093e-05×6371000²
    0.00019174000000001×5.23160910909093e-05×40589641000000     		ar = 1371363.98353146m²