Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16905 / 17911
↖ ↑ ↗
← S 16.541430°
E  5.723877°		 ← 1 171.08 m → S 16.541430°
E  5.734863°		 →
↑
1 171.05 m
↓
↑
1 171.05 m
↓
S 16.551962°
E  5.723877°		 ← 1 171.02 m →
1 371 361 m²		 S 16.551962°
E  5.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515914916992188 y=0.546615600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515914916992188 × 215)
    floor (0.515914916992188 × 32768)
    floor (16905.5)     		tx = 16905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546615600585938 × 215)
    floor (0.546615600585938 × 32768)
    floor (17911.5)     		ty = 17911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16905 / 17911 ti = "15/16905/17911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16905/17911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16905 ÷ 215
    16905 ÷ 32768     		x = 0.515899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17911 ÷ 215
    17911 ÷ 32768     		y = 0.546600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515899658203125 × 2 - 1) × π
    0.03179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09990050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.09320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.292798582879303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09990050} λ = 0.09990050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292798582879303))-π/2
    2×atan(0.746172417462426)-π/2
    2×0.641046952013166-π/2
    1.28209390402633-1.57079632675     		φ = -0.28870242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09990050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28870242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.541430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16905 KachelY 17911 0.09990050 -0.28870242 5.723877 -16.541430
    Oben rechts KachelX + 1 16906 KachelY 17911 0.10009225 -0.28870242 5.734863 -16.541430
    Unten links KachelX 16905 KachelY + 1 17912 0.09990050 -0.28888623 5.723877 -16.551962
    Unten rechts KachelX + 1 16906 KachelY + 1 17912 0.10009225 -0.28888623 5.734863 -16.551962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28870242--0.28888623) × R
    0.000183810000000006 × 6371000     		dl = 1171.05351000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28870242--0.28888623) × R
    0.000183810000000006 × 6371000     		dr = 1171.05351000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09990050-0.10009225) × cos(-0.28870242) × R
    0.000191749999999991 × 0.958614114592694 × 6371000     		do = 1171.08062799037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09990050-0.10009225) × cos(-0.28888623) × R
    0.000191749999999991 × 0.958561766113755 × 6371000     		du = 1171.01667703383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28870242)-sin(-0.28888623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958614114592694-0.958561766113755)×R²
    abs(0.10009225-0.09990050)×5.23484789385353e-05×R²
    0.000191749999999991×5.23484789385353e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.23484789385353e-05×40589641000000     		ar = 1371360.63876598m²