Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16904 / 17916
↖ ↑ ↗
← S 16.594082°
E  5.712891°		 ← 1 170.76 m → S 16.594082°
E  5.723877°		 →
↑
1 170.67 m
↓
↑
1 170.67 m
↓
S 16.604610°
E  5.712891°		 ← 1 170.70 m →
1 370 538 m²		 S 16.604610°
E  5.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515884399414062 y=0.546768188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515884399414062 × 215)
    floor (0.515884399414062 × 32768)
    floor (16904.5)     		tx = 16904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546768188476562 × 215)
    floor (0.546768188476562 × 32768)
    floor (17916.5)     		ty = 17916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16904 / 17916 ti = "15/16904/17916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16904/17916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16904 ÷ 215
    16904 ÷ 32768     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17916 ÷ 215
    17916 ÷ 32768     		y = 0.5467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5467529296875 × 2 - 1) × π
    -0.093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.293757320871704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293757320871704))-π/2
    2×atan(0.745457376440191)-π/2
    2×0.640587484903507-π/2
    1.28117496980701-1.57079632675     		φ = -0.28962136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28962136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.594082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16904 KachelY 17916 0.09970875 -0.28962136 5.712891 -16.594082
    Oben rechts KachelX + 1 16905 KachelY 17916 0.09990050 -0.28962136 5.723877 -16.594082
    Unten links KachelX 16904 KachelY + 1 17917 0.09970875 -0.28980511 5.712891 -16.604610
    Unten rechts KachelX + 1 16905 KachelY + 1 17917 0.09990050 -0.28980511 5.723877 -16.604610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28962136--0.28980511) × R
    0.000183749999999983 × 6371000     		dl = 1170.67124999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28962136--0.28980511) × R
    0.000183749999999983 × 6371000     		dr = 1170.67124999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.09990050) × cos(-0.28962136) × R
    0.000191750000000004 × 0.958352079769751 × 6371000     		do = 1170.76051596589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.09990050) × cos(-0.28980511) × R
    0.000191750000000004 × 0.958299586543432 × 6371000     		du = 1170.69638818026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28962136)-sin(-0.28980511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958352079769751-0.958299586543432)×R²
    abs(0.09990050-0.09970875)×5.24932263190614e-05×R²
    0.000191750000000004×5.24932263190614e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.24932263190614e-05×40589641000000     		ar = 1370538.14425492m²