Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16903 / 10729
↖ ↑ ↗
← N 76.215132°
W 87.149048°		 ← 145.54 m → N 76.215132°
W 87.143555°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
N 76.213823°
W 87.149048°		 ← 145.55 m →
21 188 m²		 N 76.213823°
W 87.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257926940917969 y=0.163719177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257926940917969 × 216)
    floor (0.257926940917969 × 65536)
    floor (16903.5)     		tx = 16903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163719177246094 × 216)
    floor (0.163719177246094 × 65536)
    floor (10729.5)     		ty = 10729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16903 / 10729 ti = "16/16903/10729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16903/10729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16903 ÷ 216
    16903 ÷ 65536     		x = 0.257919311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10729 ÷ 216
    10729 ÷ 65536     		y = 0.163711547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257919311523438 × 2 - 1) × π
    -0.484161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.52103782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163711547851562 × 2 - 1) × π
    0.672576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11296266145284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52103782} λ = -1.52103782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11296266145284))-π/2
    2×atan(8.27271426581262)-π/2
    2×1.45050066254974-π/2
    2.90100132509949-1.57079632675     		φ = 1.33020500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52103782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.149048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33020500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.215132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16903 KachelY 10729 -1.52103782 1.33020500 -87.149048 76.215132
    Oben rechts KachelX + 1 16904 KachelY 10729 -1.52094195 1.33020500 -87.143555 76.215132
    Unten links KachelX 16903 KachelY + 1 10730 -1.52103782 1.33018215 -87.149048 76.213823
    Unten rechts KachelX + 1 16904 KachelY + 1 10730 -1.52094195 1.33018215 -87.143555 76.213823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33020500-1.33018215) × R
    2.28500000001297e-05 × 6371000     		dl = 145.577350000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33020500-1.33018215) × R
    2.28500000001297e-05 × 6371000     		dr = 145.577350000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52103782--1.52094195) × cos(1.33020500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238276963006666 × 6371000     		do = 145.536654877211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52103782--1.52094195) × cos(1.33018215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23829915480151 × 6371000     		du = 145.550209354096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33020500)-sin(1.33018215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238276963006666-0.23829915480151)×R²
    abs(-1.52094195--1.52103782)×2.21917948439732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21917948439732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21917948439732e-05×40589641000000     		ar = 21187.8271580668m²