Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16900 / 17926
↖ ↑ ↗
← S 16.699340°
E  5.668945°		 ← 1 170.12 m → S 16.699340°
E  5.679932°		 →
↑
1 170.10 m
↓
↑
1 170.10 m
↓
S 16.709863°
E  5.668945°		 ← 1 170.05 m →
1 369 114 m²		 S 16.709863°
E  5.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515762329101562 y=0.547073364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515762329101562 × 215)
    floor (0.515762329101562 × 32768)
    floor (16900.5)     		tx = 16900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547073364257812 × 215)
    floor (0.547073364257812 × 32768)
    floor (17926.5)     		ty = 17926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16900 / 17926 ti = "15/16900/17926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16900/17926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16900 ÷ 215
    16900 ÷ 32768     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17926 ÷ 215
    17926 ÷ 32768     		y = 0.54705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.0941162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.295674796856506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295674796856506))-π/2
    2×atan(0.744029349364522)-π/2
    2×0.639668928399277-π/2
    1.27933785679855-1.57079632675     		φ = -0.29145847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29145847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.699340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16900 KachelY 17926 0.09894176 -0.29145847 5.668945 -16.699340
    Oben rechts KachelX + 1 16901 KachelY 17926 0.09913351 -0.29145847 5.679932 -16.699340
    Unten links KachelX 16900 KachelY + 1 17927 0.09894176 -0.29164213 5.668945 -16.709863
    Unten rechts KachelX + 1 16901 KachelY + 1 17927 0.09913351 -0.29164213 5.679932 -16.709863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29145847--0.29164213) × R
    0.000183659999999974 × 6371000     		dl = 1170.09785999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29145847--0.29164213) × R
    0.000183659999999974 × 6371000     		dr = 1170.09785999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09913351) × cos(-0.29145847) × R
    0.000191749999999991 × 0.957825803762065 × 6371000     		do = 1170.11759653848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09913351) × cos(-0.29164213) × R
    0.000191749999999991 × 0.957773013000741 × 6371000     		du = 1170.05310527241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29145847)-sin(-0.29164213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957825803762065-0.957773013000741)×R²
    abs(0.09913351-0.09894176)×5.27907613238066e-05×R²
    0.000191749999999991×5.27907613238066e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.27907613238066e-05×40589641000000     		ar = 1369114.36896037m²