Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16897 / 50030
↖ ↑ ↗
← N 39.134321°
W133.591003°		 ← 236.91 m → N 39.134321°
W133.588257°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
N 39.132191°
W133.591003°		 ← 236.92 m →
56 134 m²		 N 39.132191°
W133.588257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128917694091797 y=0.381702423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128917694091797 × 217)
    floor (0.128917694091797 × 131072)
    floor (16897.5)     		tx = 16897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381702423095703 × 217)
    floor (0.381702423095703 × 131072)
    floor (50030.5)     		ty = 50030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16897 / 50030 ti = "17/16897/50030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16897/50030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16897 ÷ 217
    16897 ÷ 131072     		x = 0.128913879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50030 ÷ 217
    50030 ÷ 131072     		y = 0.381698608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128913879394531 × 2 - 1) × π
    -0.742172241210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.33160286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381698608398438 × 2 - 1) × π
    0.236602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.743309565508591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33160286} λ = -2.33160286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743309565508591))-π/2
    2×atan(2.10288364168038)-π/2
    2×1.12690954152079-π/2
    2.25381908304158-1.57079632675     		φ = 0.68302276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33160286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.591003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68302276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.134321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16897 KachelY 50030 -2.33160286 0.68302276 -133.591003 39.134321
    Oben rechts KachelX + 1 16898 KachelY 50030 -2.33155492 0.68302276 -133.588257 39.134321
    Unten links KachelX 16897 KachelY + 1 50031 -2.33160286 0.68298557 -133.591003 39.132191
    Unten rechts KachelX + 1 16898 KachelY + 1 50031 -2.33155492 0.68298557 -133.588257 39.132191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68302276-0.68298557) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dl = 236.937489999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68302276-0.68298557) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dr = 236.937489999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33160286--2.33155492) × cos(0.68302276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775668478875511 × 6371000     		do = 236.909119155072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33160286--2.33155492) × cos(0.68298557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77569195045665 × 6371000     		du = 236.91628798011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68302276)-sin(0.68298557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775668478875511-0.77569195045665)×R²
    abs(-2.33155492--2.33160286)×2.34715811385788e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34715811385788e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34715811385788e-05×40589641000000     		ar = 56133.5013387467m²