Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16896 / 49967
↖ ↑ ↗
← N 39.268411°
W133.593750°		 ← 236.46 m → N 39.268411°
W133.591003°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
N 39.266285°
W133.593750°		 ← 236.46 m →
55 906 m²		 N 39.266285°
W133.591003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128910064697266 y=0.381221771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128910064697266 × 217)
    floor (0.128910064697266 × 131072)
    floor (16896.5)     		tx = 16896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381221771240234 × 217)
    floor (0.381221771240234 × 131072)
    floor (49967.5)     		ty = 49967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16896 / 49967 ti = "17/16896/49967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16896/49967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16896 ÷ 217
    16896 ÷ 131072     		x = 0.12890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49967 ÷ 217
    49967 ÷ 131072     		y = 0.381217956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12890625 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381217956542969 × 2 - 1) × π
    0.237564086914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.746329590184654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33165080} λ = -2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.746329590184654))-π/2
    2×atan(2.10924400155687)-π/2
    2×1.12807969388339-π/2
    2.25615938776677-1.57079632675     		φ = 0.68536306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68536306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.268411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16896 KachelY 49967 -2.33165080 0.68536306 -133.593750 39.268411
    Oben rechts KachelX + 1 16897 KachelY 49967 -2.33160286 0.68536306 -133.591003 39.268411
    Unten links KachelX 16896 KachelY + 1 49968 -2.33165080 0.68532595 -133.593750 39.266285
    Unten rechts KachelX + 1 16897 KachelY + 1 49968 -2.33160286 0.68532595 -133.591003 39.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68536306-0.68532595) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dl = 236.427810000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68536306-0.68532595) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dr = 236.427810000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33165080--2.33160286) × cos(0.68536306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774189297794344 × 6371000     		do = 236.457339178763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33165080--2.33160286) × cos(0.68532595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77421278618903 × 6371000     		du = 236.464513139091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68536306)-sin(0.68532595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774189297794344-0.77421278618903)×R²
    abs(-2.33160286--2.33165080)×2.34883946852449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34883946852449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34883946852449e-05×40589641000000     		ar = 55905.9389288346m²