Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16894 / 50088
↖ ↑ ↗
← N 39.010647°
W133.599243°		 ← 237.32 m → N 39.010647°
W133.596496°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
N 39.008513°
W133.599243°		 ← 237.33 m →
56 323 m²		 N 39.008513°
W133.596496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128894805908203 y=0.382144927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128894805908203 × 217)
    floor (0.128894805908203 × 131072)
    floor (16894.5)     		tx = 16894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382144927978516 × 217)
    floor (0.382144927978516 × 131072)
    floor (50088.5)     		ty = 50088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16894 / 50088 ti = "17/16894/50088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16894/50088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16894 ÷ 217
    16894 ÷ 131072     		x = 0.128890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50088 ÷ 217
    50088 ÷ 131072     		y = 0.38214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128890991210938 × 2 - 1) × π
    -0.742218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33174667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38214111328125 × 2 - 1) × π
    0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33174667} λ = -2.33174667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740529225330627))-π/2
    2×atan(2.09704503022602)-π/2
    2×1.12583028458092-π/2
    2.25166056916184-1.57079632675     		φ = 0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33174667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16894 KachelY 50088 -2.33174667 0.68086424 -133.599243 39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 16895 KachelY 50088 -2.33169873 0.68086424 -133.596496 39.010647
    Unten links KachelX 16894 KachelY + 1 50089 -2.33174667 0.68082699 -133.599243 39.008513
    Unten rechts KachelX + 1 16895 KachelY + 1 50089 -2.33169873 0.68082699 -133.596496 39.008513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68086424-0.68082699) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68086424-0.68082699) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33174667--2.33169873) × cos(0.68086424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 237.324657432224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33174667--2.33169873) × cos(0.68082699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777052447371448 × 6371000     		du = 237.33181875708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68086424)-sin(0.68082699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.777052447371448)×R²
    abs(-2.33169873--2.33174667)×2.3447024652623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3447024652623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3447024652623e-05×40589641000000     		ar = 56322.6781391392m²