Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16893 / 11795
↖ ↑ ↗
← N 44.941473°
E  5.592041°		 ← 864.71 m → N 44.941473°
E  5.603028°		 →
↑
864.74 m
↓
↑
864.74 m
↓
N 44.933697°
E  5.592041°		 ← 864.83 m →
747 798 m²		 N 44.933697°
E  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515548706054688 y=0.359970092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515548706054688 × 215)
    floor (0.515548706054688 × 32768)
    floor (16893.5)     		tx = 16893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359970092773438 × 215)
    floor (0.359970092773438 × 32768)
    floor (11795.5)     		ty = 11795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16893 / 11795 ti = "15/16893/11795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16893/11795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16893 ÷ 215
    16893 ÷ 32768     		x = 0.515533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11795 ÷ 215
    11795 ÷ 32768     		y = 0.359954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515533447265625 × 2 - 1) × π
    0.03106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09759953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359954833984375 × 2 - 1) × π
    0.28009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.879929729425751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09759953} λ = 0.09759953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.879929729425751))-π/2
    2×atan(2.4107302970627)-π/2
    2×1.17758650375785-π/2
    2.3551730075157-1.57079632675     		φ = 0.78437668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09759953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78437668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.941473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16893 KachelY 11795 0.09759953 0.78437668 5.592041 44.941473
    Oben rechts KachelX + 1 16894 KachelY 11795 0.09779128 0.78437668 5.603028 44.941473
    Unten links KachelX 16893 KachelY + 1 11796 0.09759953 0.78424095 5.592041 44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 16894 KachelY + 1 11796 0.09779128 0.78424095 5.603028 44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78437668-0.78424095) × R
    0.000135730000000001 × 6371000     		dl = 864.735830000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78437668-0.78424095) × R
    0.000135730000000001 × 6371000     		dr = 864.735830000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09759953-0.09779128) × cos(0.78437668) × R
    0.000191749999999991 × 0.707828709990549 × 6371000     		do = 864.711334401279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09759953-0.09779128) × cos(0.78424095) × R
    0.000191749999999991 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 864.82845417237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78437668)-sin(0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707828709990549-0.707924580986091)×R²
    abs(0.09779128-0.09759953)×9.5870995541647e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5870995541647e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5870995541647e-05×40589641000000     		ar = 747797.513442929m²