Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16891 / 49735
↖ ↑ ↗
← N 39.759991°
W133.607483°		 ← 234.74 m → N 39.759991°
W133.604737°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
N 39.757880°
W133.607483°		 ← 234.75 m →
55 111 m²		 N 39.757880°
W133.604737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128871917724609 y=0.379451751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128871917724609 × 217)
    floor (0.128871917724609 × 131072)
    floor (16891.5)     		tx = 16891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379451751708984 × 217)
    floor (0.379451751708984 × 131072)
    floor (49735.5)     		ty = 49735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16891 / 49735 ti = "17/16891/49735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16891/49735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16891 ÷ 217
    16891 ÷ 131072     		x = 0.128868103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49735 ÷ 217
    49735 ÷ 131072     		y = 0.379447937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128868103027344 × 2 - 1) × π
    -0.742263793945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.33189048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379447937011719 × 2 - 1) × π
    0.241104125976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.757450950896507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33189048} λ = -2.33189048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757450950896507))-π/2
    2×atan(2.13283259040172)-π/2
    2×1.13236954368228-π/2
    2.26473908736457-1.57079632675     		φ = 0.69394276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33189048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.607483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69394276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.759991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16891 KachelY 49735 -2.33189048 0.69394276 -133.607483 39.759991
    Oben rechts KachelX + 1 16892 KachelY 49735 -2.33184255 0.69394276 -133.604737 39.759991
    Unten links KachelX 16891 KachelY + 1 49736 -2.33189048 0.69390591 -133.607483 39.757880
    Unten rechts KachelX + 1 16892 KachelY + 1 49736 -2.33184255 0.69390591 -133.604737 39.757880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69394276-0.69390591) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dl = 234.771349999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69394276-0.69390591) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dr = 234.771349999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33189048--2.33184255) × cos(0.69394276) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768730313519594 × 6371000     		do = 234.741049059023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33189048--2.33184255) × cos(0.69390591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768753881265084 × 6371000     		du = 234.748245753629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69394276)-sin(0.69390591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768730313519594-0.768753881265084)×R²
    abs(-2.33184255--2.33189048)×2.35677454902827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35677454902827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35677454902827e-05×40589641000000     		ar = 55111.3177829819m²