Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16891 / 11796
↖ ↑ ↗
← N 44.933697°
E  5.570068°		 ← 864.83 m → N 44.933697°
E  5.581055°		 →
↑
864.86 m
↓
↑
864.86 m
↓
N 44.925919°
E  5.570068°		 ← 864.95 m →
748 009 m²		 N 44.925919°
E  5.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515487670898438 y=0.360000610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515487670898438 × 215)
    floor (0.515487670898438 × 32768)
    floor (16891.5)     		tx = 16891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360000610351562 × 215)
    floor (0.360000610351562 × 32768)
    floor (11796.5)     		ty = 11796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16891 / 11796 ti = "15/16891/11796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16891/11796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16891 ÷ 215
    16891 ÷ 32768     		x = 0.515472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11796 ÷ 215
    11796 ÷ 32768     		y = 0.3599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515472412109375 × 2 - 1) × π
    0.03094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09721603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3599853515625 × 2 - 1) × π
    0.280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87973798182727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09721603} λ = 0.09721603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87973798182727))-π/2
    2×atan(2.41026808963265)-π/2
    2×1.17751863693438-π/2
    2.35503727386876-1.57079632675     		φ = 0.78424095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09721603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.570068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78424095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.933697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16891 KachelY 11796 0.09721603 0.78424095 5.570068 44.933697
    Oben rechts KachelX + 1 16892 KachelY 11796 0.09740778 0.78424095 5.581055 44.933697
    Unten links KachelX 16891 KachelY + 1 11797 0.09721603 0.78410520 5.570068 44.925919
    Unten rechts KachelX + 1 16892 KachelY + 1 11797 0.09740778 0.78410520 5.581055 44.925919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78424095-0.78410520) × R
    0.000135750000000101 × 6371000     		dl = 864.863250000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78424095-0.78410520) × R
    0.000135750000000101 × 6371000     		dr = 864.863250000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09721603-0.09740778) × cos(0.78424095) × R
    0.000191750000000004 × 0.707924580986091 × 6371000     		do = 864.828454172432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09721603-0.09740778) × cos(0.78410520) × R
    0.000191750000000004 × 0.708020453063637 × 6371000     		du = 864.945575265341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78424095)-sin(0.78410520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707924580986091-0.708020453063637)×R²
    abs(0.09740778-0.09721603)×9.58720775456889e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58720775456889e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58720775456889e-05×40589641000000     		ar = 748008.995581422m²