Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16890 / 49654
↖ ↑ ↗
← N 39.930801°
W133.610230°		 ← 234.21 m → N 39.930801°
W133.607483°		 →
↑
234.20 m
↓
↑
234.20 m
↓
N 39.928695°
W133.610230°		 ← 234.21 m →
54 852 m²		 N 39.928695°
W133.607483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128864288330078 y=0.378833770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128864288330078 × 217)
    floor (0.128864288330078 × 131072)
    floor (16890.5)     		tx = 16890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378833770751953 × 217)
    floor (0.378833770751953 × 131072)
    floor (49654.5)     		ty = 49654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16890 / 49654 ti = "17/16890/49654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16890/49654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16890 ÷ 217
    16890 ÷ 131072     		x = 0.128860473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49654 ÷ 217
    49654 ÷ 131072     		y = 0.378829956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128860473632812 × 2 - 1) × π
    -0.742279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33193842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378829956054688 × 2 - 1) × π
    0.242340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761333839765732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33193842} λ = -2.33193842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761333839765732))-π/2
    2×atan(2.14113024132994)-π/2
    2×1.1338601370292-π/2
    2.2677202740584-1.57079632675     		φ = 0.69692395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33193842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.610230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69692395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.930801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16890 KachelY 49654 -2.33193842 0.69692395 -133.610230 39.930801
    Oben rechts KachelX + 1 16891 KachelY 49654 -2.33189048 0.69692395 -133.607483 39.930801
    Unten links KachelX 16890 KachelY + 1 49655 -2.33193842 0.69688719 -133.610230 39.928695
    Unten rechts KachelX + 1 16891 KachelY + 1 49655 -2.33189048 0.69688719 -133.607483 39.928695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69692395-0.69688719) × R
    3.6759999999969e-05 × 6371000     		dl = 234.197959999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69692395-0.69688719) × R
    3.6759999999969e-05 × 6371000     		dr = 234.197959999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33193842--2.33189048) × cos(0.69692395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766820211478728 × 6371000     		do = 234.206630537693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33193842--2.33189048) × cos(0.69688719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766843805805915 × 6371000     		du = 234.213836852534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69692395)-sin(0.69688719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766820211478728-0.766843805805915)×R²
    abs(-2.33189048--2.33193842)×2.35943271872374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35943271872374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35943271872374e-05×40589641000000     		ar = 54851.5589486325m²