Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16890 / 11242
↖ ↑ ↗
← N 49.081062°
E  5.559082°		 ← 800.16 m → N 49.081062°
E  5.570068°		 →
↑
800.20 m
↓
↑
800.20 m
↓
N 49.073866°
E  5.559082°		 ← 800.28 m →
640 334 m²		 N 49.073866°
E  5.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515457153320312 y=0.343093872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515457153320312 × 215)
    floor (0.515457153320312 × 32768)
    floor (16890.5)     		tx = 16890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343093872070312 × 215)
    floor (0.343093872070312 × 32768)
    floor (11242.5)     		ty = 11242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16890 / 11242 ti = "15/16890/11242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16890/11242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16890 ÷ 215
    16890 ÷ 32768     		x = 0.51544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11242 ÷ 215
    11242 ÷ 32768     		y = 0.34307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51544189453125 × 2 - 1) × π
    0.0308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09702428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34307861328125 × 2 - 1) × π
    0.3138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.985966151385315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09702428} λ = 0.09702428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985966151385315))-π/2
    2×atan(2.68040030628513)-π/2
    2×1.21371123270525-π/2
    2.42742246541051-1.57079632675     		φ = 0.85662614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09702428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85662614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.081062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16890 KachelY 11242 0.09702428 0.85662614 5.559082 49.081062
    Oben rechts KachelX + 1 16891 KachelY 11242 0.09721603 0.85662614 5.570068 49.081062
    Unten links KachelX 16890 KachelY + 1 11243 0.09702428 0.85650054 5.559082 49.073866
    Unten rechts KachelX + 1 16891 KachelY + 1 11243 0.09721603 0.85650054 5.570068 49.073866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85662614-0.85650054) × R
    0.000125600000000059 × 6371000     		dl = 800.197600000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85662614-0.85650054) × R
    0.000125600000000059 × 6371000     		dr = 800.197600000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09702428-0.09721603) × cos(0.85662614) × R
    0.000191749999999991 × 0.654990604700638 × 6371000     		do = 800.162231083494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09702428-0.09721603) × cos(0.85650054) × R
    0.000191749999999991 × 0.65508550754389 × 6371000     		du = 800.278168121748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85662614)-sin(0.85650054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654990604700638-0.65508550754389)×R²
    abs(0.09721603-0.09702428)×9.49028432524202e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49028432524202e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49028432524202e-05×40589641000000     		ar = 640334.284036039m²