Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1689 / 647
↖ ↑ ↗
← N 55.078367°
E116.894531°		 ← 11.189 km → N 55.078367°
E117.070313°		 →
↑
11.203 km
↓
↑
11.203 km
↓
N 54.977613°
E116.894531°		 ← 11.217 km →
125.513 km²		 N 54.977613°
E117.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824951171875 y=0.316162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824951171875 × 211)
    floor (0.824951171875 × 2048)
    floor (1689.5)     		tx = 1689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316162109375 × 211)
    floor (0.316162109375 × 2048)
    floor (647.5)     		ty = 647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1689 / 647 ti = "11/1689/647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1689/647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1689 ÷ 211
    1689 ÷ 2048     		x = 0.82470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 647 ÷ 211
    647 ÷ 2048     		y = 0.31591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82470703125 × 2 - 1) × π
    0.6494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04019445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31591796875 × 2 - 1) × π
    0.3681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15662151403271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04019445} λ = 2.04019445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15662151403271))-π/2
    2×atan(3.17917431603779)-π/2
    2×1.2660475907986-π/2
    2.53209518159719-1.57079632675     		φ = 0.96129885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04019445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96129885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.078367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1689 KachelY 647 2.04019445 0.96129885 116.894531 55.078367
    Oben rechts KachelX + 1 1690 KachelY 647 2.04326241 0.96129885 117.070313 55.078367
    Unten links KachelX 1689 KachelY + 1 648 2.04019445 0.95954037 116.894531 54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 1690 KachelY + 1 648 2.04326241 0.95954037 117.070313 54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96129885-0.95954037) × R
    0.00175848000000001 × 6371000     		dl = 11203.27608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96129885-0.95954037) × R
    0.00175848000000001 × 6371000     		dr = 11203.27608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04019445-2.04326241) × cos(0.96129885) × R
    0.00306796000000009 × 0.572455495635847 × 6371000     		do = 11189.1997529931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04019445-2.04326241) × cos(0.95954037) × R
    0.00306796000000009 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 11217.3646180711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96129885)-sin(0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572455495635847-0.573896450498898)×R²
    abs(2.04326241-2.04019445)×0.00144095486305074×R²
    0.00306796000000009×0.00144095486305074×6371000²
    0.00306796000000009×0.00144095486305074×40589641000000     		ar = 125513495.669941m²