Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1689 / 407
↖ ↑ ↗
← N 80.774716°
W 31.552734°		 ← 1 566.77 m → N 80.774716°
W 31.464844°		 →
↑
1 567.97 m
↓
↑
1 567.97 m
↓
N 80.760615°
W 31.552734°		 ← 1 569.15 m →
2 458 511 m²		 N 80.760615°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4124755859375 y=0.0994873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4124755859375 × 212)
    floor (0.4124755859375 × 4096)
    floor (1689.5)     		tx = 1689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994873046875 × 212)
    floor (0.0994873046875 × 4096)
    floor (407.5)     		ty = 407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1689 / 407 ti = "12/1689/407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1689/407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1689 ÷ 212
    1689 ÷ 4096     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 407 ÷ 212
    407 ÷ 4096     		y = 0.099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099365234375 × 2 - 1) × π
    0.80126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51726247284839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51726247284839))-π/2
    2×atan(12.3946195705807)-π/2
    2×1.49029053425565-π/2
    2.98058106851131-1.57079632675     		φ = 1.40978474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40978474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.774716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1689 KachelY 407 -0.55069910 1.40978474 -31.552734 80.774716
    Oben rechts KachelX + 1 1690 KachelY 407 -0.54916512 1.40978474 -31.464844 80.774716
    Unten links KachelX 1689 KachelY + 1 408 -0.55069910 1.40953863 -31.552734 80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 1690 KachelY + 1 408 -0.54916512 1.40953863 -31.464844 80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40978474-1.40953863) × R
    0.000246110000000188 × 6371000     		dl = 1567.9668100012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40978474-1.40953863) × R
    0.000246110000000188 × 6371000     		dr = 1567.9668100012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.54916512) × cos(1.40978474) × R
    0.00153398000000005 × 0.160316791011568 × 6371000     		do = 1566.77384710477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.54916512) × cos(1.40953863) × R
    0.00153398000000005 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 1569.14791918866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40978474)-sin(1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160316791011568-0.160559712872195)×R²
    abs(-0.54916512--0.55069910)×0.000242921860627077×R²
    0.00153398000000005×0.000242921860627077×6371000²
    0.00153398000000005×0.000242921860627077×40589641000000     		ar = 2458510.63656892m²