Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16889 / 11771
↖ ↑ ↗
← N 45.127804°
E  5.548096°		 ← 861.86 m → N 45.127804°
E  5.559082°		 →
↑
861.93 m
↓
↑
861.93 m
↓
N 45.120053°
E  5.548096°		 ← 861.97 m →
742 912 m²		 N 45.120053°
E  5.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515426635742188 y=0.359237670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515426635742188 × 215)
    floor (0.515426635742188 × 32768)
    floor (16889.5)     		tx = 16889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359237670898438 × 215)
    floor (0.359237670898438 × 32768)
    floor (11771.5)     		ty = 11771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16889 / 11771 ti = "15/16889/11771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16889/11771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16889 ÷ 215
    16889 ÷ 32768     		x = 0.515411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11771 ÷ 215
    11771 ÷ 32768     		y = 0.359222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515411376953125 × 2 - 1) × π
    0.03082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09683254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359222412109375 × 2 - 1) × π
    0.28155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.884531671789276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09683254} λ = 0.09683254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884531671789276))-π/2
    2×atan(2.42184990521757)-π/2
    2×1.17921254998894-π/2
    2.35842509997787-1.57079632675     		φ = 0.78762877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09683254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.548096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78762877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.127804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16889 KachelY 11771 0.09683254 0.78762877 5.548096 45.127804
    Oben rechts KachelX + 1 16890 KachelY 11771 0.09702428 0.78762877 5.559082 45.127804
    Unten links KachelX 16889 KachelY + 1 11772 0.09683254 0.78749348 5.548096 45.120053
    Unten rechts KachelX + 1 16890 KachelY + 1 11772 0.09702428 0.78749348 5.559082 45.120053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78762877-0.78749348) × R
    0.00013529000000001 × 6371000     		dl = 861.932590000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78762877-0.78749348) × R
    0.00013529000000001 × 6371000     		dr = 861.932590000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09683254-0.09702428) × cos(0.78762877) × R
    0.00019174000000001 × 0.705527746298131 × 6371000     		do = 861.855437669166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09683254-0.09702428) × cos(0.78749348) × R
    0.00019174000000001 × 0.705623617469134 × 6371000     		du = 861.972551546655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78762877)-sin(0.78749348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705527746298131-0.705623617469134)×R²
    abs(0.09702428-0.09683254)×9.58711710030702e-05×R²
    0.00019174000000001×9.58711710030702e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.58711710030702e-05×40589641000000     		ar = 742911.762862663m²