Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16888 / 52760
↖ ↑ ↗
← N 33.082337°
W133.615723°		 ← 255.86 m → N 33.082337°
W133.612976°		 →
↑
255.92 m
↓
↑
255.92 m
↓
N 33.080035°
W133.615723°		 ← 255.87 m →
65 481 m²		 N 33.080035°
W133.612976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128849029541016 y=0.402530670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128849029541016 × 217)
    floor (0.128849029541016 × 131072)
    floor (16888.5)     		tx = 16888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402530670166016 × 217)
    floor (0.402530670166016 × 131072)
    floor (52760.5)     		ty = 52760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16888 / 52760 ti = "17/16888/52760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16888/52760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16888 ÷ 217
    16888 ÷ 131072     		x = 0.12884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52760 ÷ 217
    52760 ÷ 131072     		y = 0.40252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40252685546875 × 2 - 1) × π
    0.1949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.612441829545837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33203429} λ = -2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612441829545837))-π/2
    2×atan(1.84493090983208)-π/2
    2×1.07409601347356-π/2
    2.14819202694712-1.57079632675     		φ = 0.57739570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57739570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.082337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16888 KachelY 52760 -2.33203429 0.57739570 -133.615723 33.082337
    Oben rechts KachelX + 1 16889 KachelY 52760 -2.33198636 0.57739570 -133.612976 33.082337
    Unten links KachelX 16888 KachelY + 1 52761 -2.33203429 0.57735553 -133.615723 33.080035
    Unten rechts KachelX + 1 16889 KachelY + 1 52761 -2.33198636 0.57735553 -133.612976 33.080035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57739570-0.57735553) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dl = 255.923070000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57739570-0.57735553) × R
    4.0170000000006e-05 × 6371000     		dr = 255.923070000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33203429--2.33198636) × cos(0.57739570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837887030438913 × 6371000     		do = 255.858884525655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33203429--2.33198636) × cos(0.57735553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.837908956303558 × 6371000     		du = 255.865579852192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57739570)-sin(0.57735553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837887030438913-0.837908956303558)×R²
    abs(-2.33198636--2.33203429)×2.19258646454445e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19258646454445e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19258646454445e-05×40589641000000     		ar = 65481.0479675811m²