Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16888 / 49752
↖ ↑ ↗
← N 39.724089°
W133.615723°		 ← 234.86 m → N 39.724089°
W133.612976°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
N 39.721976°
W133.615723°		 ← 234.87 m →
55 170 m²		 N 39.721976°
W133.612976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128849029541016 y=0.379581451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128849029541016 × 217)
    floor (0.128849029541016 × 131072)
    floor (16888.5)     		tx = 16888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379581451416016 × 217)
    floor (0.379581451416016 × 131072)
    floor (49752.5)     		ty = 49752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16888 / 49752 ti = "17/16888/49752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16888/49752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16888 ÷ 217
    16888 ÷ 131072     		x = 0.12884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49752 ÷ 217
    49752 ÷ 131072     		y = 0.37957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    0.2408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756636023602966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33203429} λ = -2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756636023602966))-π/2
    2×atan(2.13109519493289)-π/2
    2×1.1320562324033-π/2
    2.26411246480661-1.57079632675     		φ = 0.69331614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69331614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.724089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16888 KachelY 49752 -2.33203429 0.69331614 -133.615723 39.724089
    Oben rechts KachelX + 1 16889 KachelY 49752 -2.33198636 0.69331614 -133.612976 39.724089
    Unten links KachelX 16888 KachelY + 1 49753 -2.33203429 0.69327927 -133.615723 39.721976
    Unten rechts KachelX + 1 16889 KachelY + 1 49753 -2.33198636 0.69327927 -133.612976 39.721976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69331614-0.69327927) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dl = 234.898769999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69331614-0.69327927) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dr = 234.898769999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33203429--2.33198636) × cos(0.69331614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769130931845179 × 6371000     		do = 234.863382684179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33203429--2.33198636) × cos(0.69327927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769154494616319 × 6371000     		du = 234.870577859807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69331614)-sin(0.69327927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769130931845179-0.769154494616319)×R²
    abs(-2.33198636--2.33203429)×2.35627711392405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35627711392405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35627711392405e-05×40589641000000     		ar = 55169.9647857017m²