Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16887 / 11779
↖ ↑ ↗
← N 45.065762°
E  5.526123°		 ← 862.84 m → N 45.065762°
E  5.537109°		 →
↑
862.89 m
↓
↑
862.89 m
↓
N 45.058001°
E  5.526123°		 ← 862.95 m →
744 583 m²		 N 45.058001°
E  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515365600585938 y=0.359481811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515365600585938 × 215)
    floor (0.515365600585938 × 32768)
    floor (16887.5)     		tx = 16887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359481811523438 × 215)
    floor (0.359481811523438 × 32768)
    floor (11779.5)     		ty = 11779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16887 / 11779 ti = "15/16887/11779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16887/11779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16887 ÷ 215
    16887 ÷ 32768     		x = 0.515350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11779 ÷ 215
    11779 ÷ 32768     		y = 0.359466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515350341796875 × 2 - 1) × π
    0.03070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09644904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359466552734375 × 2 - 1) × π
    0.28106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.882997691001434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09644904} λ = 0.09644904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882997691001434))-π/2
    2×atan(2.41813768195945)-π/2
    2×1.17867112285157-π/2
    2.35734224570315-1.57079632675     		φ = 0.78654592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09644904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78654592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.065762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16887 KachelY 11779 0.09644904 0.78654592 5.526123 45.065762
    Oben rechts KachelX + 1 16888 KachelY 11779 0.09664079 0.78654592 5.537109 45.065762
    Unten links KachelX 16887 KachelY + 1 11780 0.09644904 0.78641048 5.526123 45.058001
    Unten rechts KachelX + 1 16888 KachelY + 1 11780 0.09664079 0.78641048 5.537109 45.058001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78654592-0.78641048) × R
    0.000135439999999987 × 6371000     		dl = 862.888239999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78654592-0.78641048) × R
    0.000135439999999987 × 6371000     		dr = 862.888239999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09644904-0.09664079) × cos(0.78654592) × R
    0.000191750000000004 × 0.706294729136104 × 6371000     		do = 862.837363180803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09644904-0.09664079) × cos(0.78641048) × R
    0.000191750000000004 × 0.706390603058289 × 6371000     		du = 862.954486527195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78654592)-sin(0.78641048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706294729136104-0.706390603058289)×R²
    abs(0.09664079-0.09644904)×9.5873922184575e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5873922184575e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5873922184575e-05×40589641000000     		ar = 744582.747038347m²