Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16886 / 49725
↖ ↑ ↗
← N 39.781102°
W133.621216°		 ← 234.72 m → N 39.781102°
W133.618469°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
N 39.778991°
W133.621216°		 ← 234.73 m →
55 091 m²		 N 39.778991°
W133.618469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128833770751953 y=0.379375457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128833770751953 × 217)
    floor (0.128833770751953 × 131072)
    floor (16886.5)     		tx = 16886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379375457763672 × 217)
    floor (0.379375457763672 × 131072)
    floor (49725.5)     		ty = 49725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16886 / 49725 ti = "17/16886/49725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16886/49725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16886 ÷ 217
    16886 ÷ 131072     		x = 0.128829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49725 ÷ 217
    49725 ÷ 131072     		y = 0.379371643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.742340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33213017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379371643066406 × 2 - 1) × π
    0.241256713867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.757930319892708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33213017} λ = -2.33213017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757930319892708))-π/2
    2×atan(2.13385524931555)-π/2
    2×1.13255376817512-π/2
    2.26510753635025-1.57079632675     		φ = 0.69431121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33213017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69431121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.781102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16886 KachelY 49725 -2.33213017 0.69431121 -133.621216 39.781102
    Oben rechts KachelX + 1 16887 KachelY 49725 -2.33208223 0.69431121 -133.618469 39.781102
    Unten links KachelX 16886 KachelY + 1 49726 -2.33213017 0.69427437 -133.621216 39.778991
    Unten rechts KachelX + 1 16887 KachelY + 1 49726 -2.33208223 0.69427437 -133.618469 39.778991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69431121-0.69427437) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dl = 234.707639999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69431121-0.69427437) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dr = 234.707639999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33213017--2.33208223) × cos(0.69431121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768494610649595 × 6371000     		do = 234.71803514351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33213017--2.33208223) × cos(0.69427437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768518182432711 × 6371000     		du = 234.725234572812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69431121)-sin(0.69427437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768494610649595-0.768518182432711)×R²
    abs(-2.33208223--2.33213017)×2.35717831164051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35717831164051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35717831164051e-05×40589641000000     		ar = 55090.960980712m²