Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16884 / 49716
↖ ↑ ↗
← N 39.800096°
W133.626709°		 ← 234.65 m → N 39.800096°
W133.623962°		 →
↑
234.64 m
↓
↑
234.64 m
↓
N 39.797986°
W133.626709°		 ← 234.66 m →
55 061 m²		 N 39.797986°
W133.623962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128818511962891 y=0.379306793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128818511962891 × 217)
    floor (0.128818511962891 × 131072)
    floor (16884.5)     		tx = 16884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379306793212891 × 217)
    floor (0.379306793212891 × 131072)
    floor (49716.5)     		ty = 49716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16884 / 49716 ti = "17/16884/49716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16884/49716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16884 ÷ 217
    16884 ÷ 131072     		x = 0.128814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49716 ÷ 217
    49716 ÷ 131072     		y = 0.379302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.74237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33222604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379302978515625 × 2 - 1) × π
    0.24139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.758361751989288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33222604} λ = -2.33222604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758361751989288))-π/2
    2×atan(2.13477606157926)-π/2
    2×1.1327195219131-π/2
    2.2654390438262-1.57079632675     		φ = 0.69464272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33222604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69464272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.800096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16884 KachelY 49716 -2.33222604 0.69464272 -133.626709 39.800096
    Oben rechts KachelX + 1 16885 KachelY 49716 -2.33217810 0.69464272 -133.623962 39.800096
    Unten links KachelX 16884 KachelY + 1 49717 -2.33222604 0.69460589 -133.626709 39.797986
    Unten rechts KachelX + 1 16885 KachelY + 1 49717 -2.33217810 0.69460589 -133.623962 39.797986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69464272-0.69460589) × R
    3.68300000000987e-05 × 6371000     		dl = 234.643930000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69464272-0.69460589) × R
    3.68300000000987e-05 × 6371000     		dr = 234.643930000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33222604--2.33217810) × cos(0.69464272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768282449676394 × 6371000     		do = 234.653235721272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33222604--2.33217810) × cos(0.69460589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768306024443025 × 6371000     		du = 234.660436061815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69464272)-sin(0.69460589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768282449676394-0.768306024443025)×R²
    abs(-2.33217810--2.33222604)×2.35747666309516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35747666309516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35747666309516e-05×40589641000000     		ar = 55060.8021812794m²