Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16883 / 49742
↖ ↑ ↗
← N 39.745210°
W133.629456°		 ← 234.84 m → N 39.745210°
W133.626709°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
N 39.743098°
W133.629456°		 ← 234.85 m →
55 150 m²		 N 39.743098°
W133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128810882568359 y=0.379505157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128810882568359 × 217)
    floor (0.128810882568359 × 131072)
    floor (16883.5)     		tx = 16883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379505157470703 × 217)
    floor (0.379505157470703 × 131072)
    floor (49742.5)     		ty = 49742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16883 / 49742 ti = "17/16883/49742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16883/49742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16883 ÷ 217
    16883 ÷ 131072     		x = 0.128807067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49742 ÷ 217
    49742 ÷ 131072     		y = 0.379501342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128807067871094 × 2 - 1) × π
    -0.742385864257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.33227398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379501342773438 × 2 - 1) × π
    0.240997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.757115392599167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33227398} λ = -2.33227398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757115392599167))-π/2
    2×atan(2.13211702079354)-π/2
    2×1.1322405529251-π/2
    2.26448110585019-1.57079632675     		φ = 0.69368478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33227398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.629456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69368478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.745210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16883 KachelY 49742 -2.33227398 0.69368478 -133.629456 39.745210
    Oben rechts KachelX + 1 16884 KachelY 49742 -2.33222604 0.69368478 -133.626709 39.745210
    Unten links KachelX 16883 KachelY + 1 49743 -2.33227398 0.69364792 -133.629456 39.743098
    Unten rechts KachelX + 1 16884 KachelY + 1 49743 -2.33222604 0.69364792 -133.626709 39.743098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69368478-0.69364792) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69368478-0.69364792) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33227398--2.33222604) × cos(0.69368478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768895284996076 × 6371000     		do = 234.840411402283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33227398--2.33222604) × cos(0.69364792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768918851826151 × 6371000     		du = 234.847609318799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69368478)-sin(0.69364792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768895284996076-0.768918851826151)×R²
    abs(-2.33222604--2.33227398)×2.35668300748726e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35668300748726e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35668300748726e-05×40589641000000     		ar = 55149.6072698508m²