Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16883 / 11801
↖ ↑ ↗
← N 44.894796°
E  5.482178°		 ← 865.41 m → N 44.894796°
E  5.493164°		 →
↑
865.44 m
↓
↑
865.44 m
↓
N 44.887013°
E  5.482178°		 ← 865.53 m →
749 012 m²		 N 44.887013°
E  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515243530273438 y=0.360153198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515243530273438 × 215)
    floor (0.515243530273438 × 32768)
    floor (16883.5)     		tx = 16883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360153198242188 × 215)
    floor (0.360153198242188 × 32768)
    floor (11801.5)     		ty = 11801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16883 / 11801 ti = "15/16883/11801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16883/11801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16883 ÷ 215
    16883 ÷ 32768     		x = 0.515228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11801 ÷ 215
    11801 ÷ 32768     		y = 0.360137939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515228271484375 × 2 - 1) × π
    0.03045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09568205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360137939453125 × 2 - 1) × π
    0.27972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.878779243834869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09568205} λ = 0.09568205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878779243834869))-π/2
    2×atan(2.40795838142267)-π/2
    2×1.17717916494074-π/2
    2.35435832988149-1.57079632675     		φ = 0.78356200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09568205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78356200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.894796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16883 KachelY 11801 0.09568205 0.78356200 5.482178 44.894796
    Oben rechts KachelX + 1 16884 KachelY 11801 0.09587380 0.78356200 5.493164 44.894796
    Unten links KachelX 16883 KachelY + 1 11802 0.09568205 0.78342616 5.482178 44.887013
    Unten rechts KachelX + 1 16884 KachelY + 1 11802 0.09587380 0.78342616 5.493164 44.887013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78356200-0.78342616) × R
    0.000135839999999998 × 6371000     		dl = 865.436639999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78356200-0.78342616) × R
    0.000135839999999998 × 6371000     		dr = 865.436639999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09568205-0.09587380) × cos(0.78356200) × R
    0.000191749999999991 × 0.708403952043164 × 6371000     		do = 865.414072671004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09568205-0.09587380) × cos(0.78342616) × R
    0.000191749999999991 × 0.708499822360578 × 6371000     		du = 865.531191613667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78356200)-sin(0.78342616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708403952043164-0.708499822360578)×R²
    abs(0.09587380-0.09568205)×9.58703174148701e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58703174148701e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58703174148701e-05×40589641000000     		ar = 749011.727924995m²