Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16883 / 10803
↖ ↑ ↗
← N 76.117940°
W 87.258911°		 ← 146.54 m → N 76.117940°
W 87.253418°		 →
↑
146.60 m
↓
↑
146.60 m
↓
N 76.116621°
W 87.258911°		 ← 146.56 m →
21 484 m²		 N 76.116621°
W 87.253418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257621765136719 y=0.164848327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257621765136719 × 216)
    floor (0.257621765136719 × 65536)
    floor (16883.5)     		tx = 16883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164848327636719 × 216)
    floor (0.164848327636719 × 65536)
    floor (10803.5)     		ty = 10803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16883 / 10803 ti = "16/16883/10803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16883/10803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16883 ÷ 216
    16883 ÷ 65536     		x = 0.257614135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10803 ÷ 216
    10803 ÷ 65536     		y = 0.164840698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257614135742188 × 2 - 1) × π
    -0.484771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52295530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164840698242188 × 2 - 1) × π
    0.670318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10586800030907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52295530} λ = -1.52295530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10586800030907))-π/2
    2×atan(8.2142298701558)-π/2
    2×1.44965249708502-π/2
    2.89930499417004-1.57079632675     		φ = 1.32850867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52295530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.258911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32850867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.117940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16883 KachelY 10803 -1.52295530 1.32850867 -87.258911 76.117940
    Oben rechts KachelX + 1 16884 KachelY 10803 -1.52285943 1.32850867 -87.253418 76.117940
    Unten links KachelX 16883 KachelY + 1 10804 -1.52295530 1.32848566 -87.258911 76.116621
    Unten rechts KachelX + 1 16884 KachelY + 1 10804 -1.52285943 1.32848566 -87.253418 76.116621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32850867-1.32848566) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dl = 146.59671000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32850867-1.32848566) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dr = 146.59671000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52295530--1.52285943) × cos(1.32850867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239924090414222 × 6371000     		do = 146.542700153378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52295530--1.52285943) × cos(1.32848566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239946428266609 × 6371000     		du = 146.556343840424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32850867)-sin(1.32848566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239924090414222-0.239946428266609)×R²
    abs(-1.52285943--1.52295530)×2.23378523865336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23378523865336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23378523865336e-05×40589641000000     		ar = 21483.6777778621m²