Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16882 / 49746
↖ ↑ ↗
← N 39.736763°
W133.632202°		 ← 234.82 m → N 39.736763°
W133.629456°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
N 39.734650°
W133.632202°		 ← 234.83 m →
55 160 m²		 N 39.734650°
W133.629456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128803253173828 y=0.379535675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128803253173828 × 217)
    floor (0.128803253173828 × 131072)
    floor (16882.5)     		tx = 16882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379535675048828 × 217)
    floor (0.379535675048828 × 131072)
    floor (49746.5)     		ty = 49746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16882 / 49746 ti = "17/16882/49746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16882/49746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16882 ÷ 217
    16882 ÷ 131072     		x = 0.128799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49746 ÷ 217
    49746 ÷ 131072     		y = 0.379531860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.742401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33232191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379531860351562 × 2 - 1) × π
    0.240936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.756923645000687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33232191} λ = -2.33232191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756923645000687))-π/2
    2×atan(2.13170823166855)-π/2
    2×1.13216683149414-π/2
    2.26433366298828-1.57079632675     		φ = 0.69353734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33232191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.632202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69353734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.736763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16882 KachelY 49746 -2.33232191 0.69353734 -133.632202 39.736763
    Oben rechts KachelX + 1 16883 KachelY 49746 -2.33227398 0.69353734 -133.629456 39.736763
    Unten links KachelX 16882 KachelY + 1 49747 -2.33232191 0.69350047 -133.632202 39.734650
    Unten rechts KachelX + 1 16883 KachelY + 1 49747 -2.33227398 0.69350047 -133.629456 39.734650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69353734-0.69350047) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dl = 234.898769999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69353734-0.69350047) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dr = 234.898769999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33232191--2.33227398) × cos(0.69353734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768989546048054 × 6371000     		do = 234.820208830156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33232191--2.33227398) × cos(0.69350047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769013115091471 × 6371000     		du = 234.827405921099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69353734)-sin(0.69350047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768989546048054-0.769013115091471)×R²
    abs(-2.33227398--2.33232191)×2.35690434169378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35690434169378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35690434169378e-05×40589641000000     		ar = 55159.8235253438m²