Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1688 / 412
↖ ↑ ↗
← N 80.703997°
W 31.640625°		 ← 1 578.68 m → N 80.703997°
W 31.552734°		 →
↑
1 579.88 m
↓
↑
1 579.88 m
↓
N 80.689788°
W 31.640625°		 ← 1 581.07 m →
2 496 014 m²		 N 80.689788°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4122314453125 y=0.1007080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4122314453125 × 212)
    floor (0.4122314453125 × 4096)
    floor (1688.5)     		tx = 1688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1007080078125 × 212)
    floor (0.1007080078125 × 4096)
    floor (412.5)     		ty = 412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1688 / 412 ti = "12/1688/412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1688/412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1688 ÷ 212
    1688 ÷ 4096     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 412 ÷ 212
    412 ÷ 4096     		y = 0.1005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1005859375 × 2 - 1) × π
    0.798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50959256890918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50959256890918))-π/2
    2×atan(12.2999176706045)-π/2
    2×1.48967339408107-π/2
    2.97934678816213-1.57079632675     		φ = 1.40855046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40855046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.703997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1688 KachelY 412 -0.55223308 1.40855046 -31.640625 80.703997
    Oben rechts KachelX + 1 1689 KachelY 412 -0.55069910 1.40855046 -31.552734 80.703997
    Unten links KachelX 1688 KachelY + 1 413 -0.55223308 1.40830248 -31.640625 80.689788
    Unten rechts KachelX + 1 1689 KachelY + 1 413 -0.55069910 1.40830248 -31.552734 80.689788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40855046-1.40830248) × R
    0.000247980000000148 × 6371000     		dl = 1579.88058000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40855046-1.40830248) × R
    0.000247980000000148 × 6371000     		dr = 1579.88058000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55069910) × cos(1.40855046) × R
    0.00153398000000005 × 0.161534983931327 × 6371000     		do = 1578.67923016142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55069910) × cos(1.40830248) × R
    0.00153398000000005 × 0.161779702237399 × 6371000     		du = 1581.07085888254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40855046)-sin(1.40830248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161534983931327-0.161779702237399)×R²
    abs(-0.55069910--0.55223308)×0.000244718306071923×R²
    0.00153398000000005×0.000244718306071923×6371000²
    0.00153398000000005×0.000244718306071923×40589641000000     		ar = 2496013.91445594m²