Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16879 / 49743
↖ ↑ ↗
← N 39.743098°
W133.640442°		 ← 234.80 m → N 39.743098°
W133.637695°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
N 39.740986°
W133.640442°		 ← 234.81 m →
55 140 m²		 N 39.740986°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128780364990234 y=0.379512786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128780364990234 × 217)
    floor (0.128780364990234 × 131072)
    floor (16879.5)     		tx = 16879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379512786865234 × 217)
    floor (0.379512786865234 × 131072)
    floor (49743.5)     		ty = 49743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16879 / 49743 ti = "17/16879/49743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16879/49743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16879 ÷ 217
    16879 ÷ 131072     		x = 0.128776550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49743 ÷ 217
    49743 ÷ 131072     		y = 0.379508972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128776550292969 × 2 - 1) × π
    -0.742446899414062 × 3.1415926535     		Λ = -2.33246572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379508972167969 × 2 - 1) × π
    0.240982055664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.757067455699547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33246572} λ = -2.33246572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757067455699547))-π/2
    2×atan(2.13201481616364)-π/2
    2×1.13222212341461-π/2
    2.26444424682922-1.57079632675     		φ = 0.69364792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33246572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.640442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69364792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.743098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16879 KachelY 49743 -2.33246572 0.69364792 -133.640442 39.743098
    Oben rechts KachelX + 1 16880 KachelY 49743 -2.33241779 0.69364792 -133.637695 39.743098
    Unten links KachelX 16879 KachelY + 1 49744 -2.33246572 0.69361106 -133.640442 39.740986
    Unten rechts KachelX + 1 16880 KachelY + 1 49744 -2.33241779 0.69361106 -133.637695 39.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69364792-0.69361106) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69364792-0.69361106) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33246572--2.33241779) × cos(0.69364792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768918851826151 × 6371000     		do = 234.798621499046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33246572--2.33241779) × cos(0.69361106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768942417611527 × 6371000     		du = 234.805817595107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69364792)-sin(0.69361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768918851826151-0.768942417611527)×R²
    abs(-2.33241779--2.33246572)×2.35657853759896e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35657853759896e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35657853759896e-05×40589641000000     		ar = 55139.7933217514m²