Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16878 / 50054
↖ ↑ ↗
← N 39.083172°
W133.643188°		 ← 237.08 m → N 39.083172°
W133.640442°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
N 39.081040°
W133.643188°		 ← 237.09 m →
56 204 m²		 N 39.081040°
W133.640442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128772735595703 y=0.381885528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128772735595703 × 217)
    floor (0.128772735595703 × 131072)
    floor (16878.5)     		tx = 16878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381885528564453 × 217)
    floor (0.381885528564453 × 131072)
    floor (50054.5)     		ty = 50054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16878 / 50054 ti = "17/16878/50054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16878/50054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16878 ÷ 217
    16878 ÷ 131072     		x = 0.128768920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50054 ÷ 217
    50054 ÷ 131072     		y = 0.381881713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128768920898438 × 2 - 1) × π
    -0.742462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33251366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381881713867188 × 2 - 1) × π
    0.236236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.742159079917709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33251366} λ = -2.33251366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.742159079917709))-π/2
    2×atan(2.10046569552413)-π/2
    2×1.12646318183924-π/2
    2.25292636367848-1.57079632675     		φ = 0.68213004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33251366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.643188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68213004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.083172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16878 KachelY 50054 -2.33251366 0.68213004 -133.643188 39.083172
    Oben rechts KachelX + 1 16879 KachelY 50054 -2.33246572 0.68213004 -133.640442 39.083172
    Unten links KachelX 16878 KachelY + 1 50055 -2.33251366 0.68209283 -133.643188 39.081040
    Unten rechts KachelX + 1 16879 KachelY + 1 50055 -2.33246572 0.68209283 -133.640442 39.081040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68213004-0.68209283) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dl = 237.064910000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68213004-0.68209283) × R
    3.72100000000097e-05 × 6371000     		dr = 237.064910000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33251366--2.33246572) × cos(0.68213004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776231601520421 × 6371000     		do = 237.081111305604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33251366--2.33246572) × cos(0.68209283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.776255059947808 × 6371000     		du = 237.088276113148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68213004)-sin(0.68209283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776231601520421-0.776255059947808)×R²
    abs(-2.33246572--2.33251366)×2.34584273864913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34584273864913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34584273864913e-05×40589641000000     		ar = 56204.4615831368m²